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"Si l'on a à partir d'une hypothèse A une preuve construite de contradiction, alors l'on a une preuve construite que l'hypothèse A est contradictoire, ce qui est le sens de 'non A'."

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Si l'on a à partir d'une hypothèse 𝐴 une preuve construite de contradiction, alors l'on a une preuve construite que l'hypothèse 𝐴 est contradictoire, ce qui est le sens de 'non 𝐴'.

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La logique minimale permet de tester la cohérence structurelle d’un ensemble de propositions, de construire des preuves à partir d’hypothèses explicites, et d’identifier ou d’éliminer celles qui sont auto‑contradictoires ou qui conduisent à une contradiction.

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En logique minimale, « non 𝐴 » ne signifie pas qu’𝐴 est factuellement faux, mais qu’𝐴 mène à une contradiction lorsqu’on part de cette hypothèse.

Formulé clairement :
- On pose l’hypothèse 𝐴.
- On construit une preuve logique à partir de 𝐴.
- Si cette construction aboutit à ⊥ (contradiction), alors 𝐴 est inconsistant dans le cadre considéré.
- On peut alors conclure ¬𝐴, c’est-à-dire que l’hypothèse 𝐴 ne peut être maintenue sans contradiction.

C’est une notion de preuve constructible, pas une évaluation de vérité objective en dehors du système.

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- En logique minimale, il n’existe pas de principe d’explosion (ex falso quodlibet).
- Donc, d’une contradiction ⊥, on ne peut rien conclure arbitrairement.
- La seule chose légitime que l’on conclut est méta-logique et locale au cadre hypothétique : l’hypothèse (ou l’ensemble d’hypothèses) dont on est parti est inconsistant.

Autrement dit :
- Une contradiction n’est pas une information sur le monde.
- Elle n’est pas une preuve du contraire d’une proposition indépendante.
- Elle est uniquement une preuve construite que l’hypothèse de départ ne peut pas être maintenue dans ce cadre.

La conséquence correcte est donc :
- élimination ou révision de l’hypothèse fautive,
- sans propagation de conclusions non justifiées.

C’est précisément ce qui distingue la logique minimale des logiques classiques.

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En logique minimale, une contradiction construite n’autorise aucune conclusion arbitraire, elle établit uniquement que l’hypothèse (ou l’ensemble d’hypothèses) dont elle est issue est inconsistante dans ce cadre hypothétique et doit donc être éliminée ou révisée.
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