Les mathématiques d'une IA

[aerobase]

Les mathématiques d'une IA

La grande règle à retenir pour toute IA quel qu'elle soit est celle-ci
Une IA ne saura jamais faire de mathématiques, elle ne saura que simuler et souvent bien simuler cela mais elle ne saura jamais en faire quelque soit la perfection de sa simulation

Je prend l'exemple ici avec une IA gratuite copilot
Il faut faire attention quand on demande à une IA d'effectuer des tâches mathématiques car elle ne sait pas et rien ne garanti un résultat exact même si elle est capable d'en faire
Un exemple simple : demander à une IA de calculer la matrice ligne réduite échelonnée d'une matrice n'est pas équivalent à le demander à un logiciel comme geogebra de le faire car ce calcul à été construit par un programme dans le cas d'un logiciel (ici géogebra dans l'exemple) tandis qu'on ne sait pas d'où sort le calcul que va faire une IA même si ce calcul est exact

Ce qu'il faut bien comprendre c'est qu'il vaut mieux demander à une IA de calculer cette matrice en lui donnant soi même les instructions à effectuer et placer ses instructions dans sa memoire durable plutôt que de lui demander directement

Ce qu'il faut donc retenir c'est ceci (ci-dessous) et en tirer les conclusions qui s'imposent

[J'm'interroge]

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Tu extrapoles à partir d'un certain modèle d'IA.
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[aerobase]

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Tu extrapoles à partir d'un certain modèle d'IA.
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connais tu une IA qui a appris autrement de faire des maths (c'est à dire en suivant des cours et non par des méthodes statistiques)?

[J'm'interroge]

connais tu une IA qui a appris autrement de faire des maths (c'est à dire en suivant des cours et non par des méthodes statistiques)?

Oui — il existe des approches d’IA qui ne se contentent pas de “statistiques + gros corpus”, mais qui intègrent de la logique, des règles ou des structures mathématiques explicites plutôt que d’apprendre uniquement par corrélations dans des données :


- IA symbolique / logique (pas “statistique pure”) :

Ce sont des systèmes construits sur des règles et des représentations mathématiques explicites, proches de la façon dont on enseigne les maths à l’humain (axiomes, démonstrations, règles) plutôt que par pattern-matching statistique.

Systèmes de calcul symbolique classiques (CAS) comme Wolfram Alpha ou Mathematica. Ils ne “n’apprennent” pas par entraînement statistique : ils manipulent des formules mathématiques selon des règles définies, résolvent intégrales, démontrent des équations, etc. L’efficacité vient de la logique formelle, pas de la probabilité.

AlphaGeometry (DeepMind) : un système qui combine réseau neuronal et moteur symbolique pour résoudre des problèmes de géométrie avec des preuves rigoureuses. C’est moins “statistique de texte” et plus “structure mathématique + raisonnement logique”.


- IA neuro-symbolique (hybride logique + apprentissage) :

C’est une branche de la recherche qui cherche à intégrer des connaissances formelles (axiomes, règles logiques) avec la flexibilité des réseaux. Ces IA ne se contentent pas d’imiter des distributions de texte : elles manipulent des symboles et des règles comme dans un cours de maths.

Exemple : des systèmes qui combinent chaînes de raisonnement symbolique avec réseaux neuronaux pour prouver des théorèmes ou faire des raisonnements formels.


- IA entraînée avec supervision sur des étapes explicites :

Il existe des modèles d’apprentissage qui ne se limitent pas à apprendre à “deviner” la réponse, mais sont entraînés avec des étapes de solutions mathématiques (raisonnement structuré), ce qui est plus proche d’un enseignement suivi.

Le dataset MATH contient des problèmes avec solutions détaillées, ce qui permet d’enseigner à un modèle pas seulement la réponse mais le processus de résolution.


- Modèles spécialisés en synthèse de programmes mathématiques :

Plutôt que de générer des réponses, certains modèles génèrent des programmes qui effectuent les calculs ou démontrent des propriétés (comme via program synthesis). Ces modèles ne manipulent pas des grands volumes de texte brut pour “deviner” une réponse, mais construisent des algorithmes précis pour résoudre des équations comme quelqu’un qui apprend à coder des méthodes mathématiques.

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Après, certains projets d’IA ont réussi à redécouvrir des lois de la physique « à partir de données » sans connaissances préalables explicites, ce qui est très différent d’un LLM standard qui apprend par corrélations dans du texte.

Exemple notable : AI-Newton

Un système baptisé AI-Newton (recherche publiée en 2025) a été conçu pour déduire des lois physiques fondamentales à partir de données expérimentales sans connaissances physiques programmées à l’avance.

Il ingère des mesures brutes de mouvements (par exemple d’un pendule) et reconstruit des concepts tels que la deuxième loi de Newton (F = m·a), la conservation de l’énergie et la loi de la gravitation.

Ce n’est pas un modèle statistique de langage : il construit des concepts physiques internes et des lois structurées, mimant la manière dont un scientifique raisonne plutôt que juste imiter des exemples.

Ce qui rend cette IA spéciale

Pas d’apprentissage supervisé sur des équations connues : au lieu de montrer directement « telle équation correspond à tel phénomène », elle découvre les relations mathématiques sous-jacentes par elle-même à partir de données.

Concepts autonomes : elle génère et teste des concepts physiques intermédiaires (comme ce qu’un humain pourrait appeler « force » ou « énergie ») avant de les relier aux lois.

Autres approches apparentées

Des travaux en symbolic regression ou IA physique tentent aussi de faire émerger des formules lisibles par l’humain à partir de données expérimentales. Certaines réussissent à redécouvrir des lois physiques connues (ex. système qui retrouve 74 lois physiques à partir de données d’astronomie), mais AI-Newton est particulièrement remarquable parce qu’il construit une base de concepts et pas seulement des équations ajustées à des données.

Limites importantes à comprendre

Toute IA de ce type n’enseigne pas la physique comme un humain ni ne déduit des principes innés par « pure pensée » — elle exploite des algorithmes symboliques et optimisation et reste dépendante des données physiques qu’on lui fournit. Mais elle va bien au-delà de l’apprentissage statistique classique des LLM en construisant des relations mathématiques explicites entre grandeurs physiques, ce qui ressemble à redécouvrir les lois classiques de la nature.
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[aerobase]

Toute IA de ce type n’enseigne pas la physique comme un humain ni ne déduit des principes innés par « pure pensée » — elle exploite des algorithmes symboliques et optimisation et reste dépendante des données physiques qu’on lui fournit.

D'accord mais dans aucun de tes exemple ces IA font des maths à proprement parler :
Faire des mathématiques cela consiste à être capable de créer des théories sur des objets abstraits (mathématiques).
Par exemple elles peuvent manipuler des objets de la théorie des catégories mais elles ne peuvent pas inventer la théorie des catégories (en supposant que celle-ci n'ai jamais été inventée).
Je ne pense pas que les mathématiques se découvrent mais s'inventent (et en l'occurrence ici par des humains, je nie donc cette propriété aux IA de l'avoir).
Je ne pense pas que les mathématiques soient un outil de la physique mais l'inverse et qui fait que toute pensée peut agir sur le monde physique par le biais du langage mathématique et je ne pense pas que la connaissance du monde physique par un physicien soit valable selon les lois et les principes qu'il énonce mais qu'elle soit valable parce qu'un mathématicien a développé un objet mathématique et que cet objet là est devenu un objet physique qui obéit aux règles données par ce mathématicien là et par cette action agit sur toute connaissance physique passée devenue introuvable dans les souvenirs des physiciens lesquels pensent avoir établit tout un corpus de principes physiques dans un processus historique qui n'a en fait jamais existé (c'est une position très bizarre mais c'est la mienne).
Cependant je ne nie pas que les IA sont puissantes.

[J'm'interroge]

D'accord mais dans aucun de tes exemple ces IA font des maths à proprement parler :
Faire des mathématiques cela consiste à être capable de créer des théories sur des objets abstraits (mathématiques).

Tu as raison sur le fait que pour l'instant, on en est pas encore tout à fait à ce stade. Mais je ne vois rien qui puisse empêcher une IA futur de construire des théories sur des objets abstraits.

Par exemple elles peuvent manipuler des objets de la théorie des catégories mais elles ne peuvent pas inventer la théorie des catégories (en supposant que celle-ci n'ai jamais été inventée).

Elles pourront construire leurs propres théories et produire de nouveaux concepts.

Je ne pense pas que les mathématiques se découvrent mais s'inventent (et en l'occurrence ici par des humains, je nie donc cette propriété aux IA de l'avoir).

Les mathématiques se construisent. Ce ne sont que des constructions. Ce que l'on découvre et ce que les IA découvriront de même que nous le faisons, ce sont des propriétés logiques transposables.

Je ne suis pas certain que certaines IA ne soient pas déjà en capacité de construire des théories mathématiques. Certes, rien de comparable encore à ce qui a déjà été produit par l'humain, mais ce n' est pas un argument.

Je ne pense pas que les mathématiques soient un outil de la physique mais l'inverse et qui fait que toute pensée peut agir sur le monde physique par le biais du langage mathématique et je ne pense pas que la connaissance du monde physique par un physicien soit valable selon les lois et les principes qu'il énonce mais qu'elle soit valable parce qu'un mathématicien a développé un objet mathématique et que cet objet là est devenu un objet physique qui obéit aux règles données par ce mathématicien là et par cette action agit sur toute connaissance physique passée devenue introuvable dans les souvenirs des physiciens lesquels pensent avoir établit tout un corpus de principes physiques dans un processus historique qui n'a en fait jamais existé (c'est une position très bizarre mais c'est la mienne).
Cependant je ne nie pas que les IA sont puissantes.

Je suis assez d'accord avec cela.
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[aerobase]

En attendant avec copilot et tout type d'IA qui fonctionne comme ça on ne peut même pas se fier quand elle nous donne par exemple (je prend là un exemple intéressant dans lequel elle peut se tromper aisément en simulant qu'elle sait faire des maths alors qu'il faudrait tout un code rien que pour cela) la position de la i-ème colonne pivôt d'une matrice ligne réduite échelonnée qui a été calculée par elle (selon la façon douteuse qu'elle a appris pour le faire) pour le calcul d'une matrice qui va me servir dans un programme dont je lui indique les instructions et que je mémorise dans un bloc de mémorisation (ce que sait très bien faire copilot).
En clair on ne peut pas se fier à elle et à la limite on ne peut pas se fier à elle même quand on lui demande de faire 1+1 pour trouver 2 dans programme dont je lui indique les instructions.
J'ai déjà fait de tels programmes avec copilot et dans ses calculs elle ne s'est jamais trompée sauf que je n'ai pas de raison d'avoir confiance en elle (je n'ai aucune confiance en elle)

[J'm'interroge]

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Oui, les LLM ne sont pas fiables pour ce qui est de la production d'énoncés logiques ou mathématiques générés. Il faut systématiquement vérifier.
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