Logique minimale
Posté : 19 janv.26, 11:20
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Introduction à la logique minimale :
Ces systèmes dits "logiques", mais qui ne le sont pas — “para-consistants” ou autres “informels” — ne sont pas des logiques formelles au sens rationnel, puisqu’ils violent le principe fondamental de toute logique : celui de non-contradiction. Ce ne sont que des artifices pour manipuler des contradictions dans un cadre parfois technique, mais appeler cela une “logique” prête à confusion et légitime à tort des modes de raisonnement informels et inconsistants. Le mot “logique” y est utilisé comme un détournement terminologique.
Contrairement aux logiques paraconsistantes ou “informelles” : la logique minimale est une véritable logique formelle, elle ne viole pas le principe de non-contradiction, et elle ne prétend pas “tolérer” les contradictions : elle les traite de manière contrôlée.
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Voici une synthèse succincte des principes de la logique minimale :
1. Constructivisme strict : Une proposition n’est logique que si une preuve construite existe.
2. Négation constructive : ¬𝐴 si et seulement si 𝐴 → ⊥
Prouver ¬A revient à construire une méthode transformant toute preuve de A en ⊥.
3. Contradiction locale : 𝐴 ∧ ¬𝐴 → ⊥ est construite uniquement si les preuves existent et ⊥ n’implique rien d’autre par défaut.
4. Implication comme transformation de preuves : 𝐴 → 𝐵
Autrement dit : “il existe une méthode pour transformer toute preuve de A en preuve de B”.
5. Pas d’ex falso quodlibet : Une contradiction n’explose pas le système. On ne peut pas déduire arbitrairement une autre proposition à partir de ⊥.
6. Prudence et non-arbitraire : Rien n’est supposé ou présupposé ontologiquement. Toutes les conclusions doivent être explicitement construites à partir de preuves disponibles.
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En logique minimale, la définition de la négation est géniale :
Négation (¬) est définie comme suit : ¬A soit A → ⊥. Autrement dit : ¬A signifie qu'il existe une preuve que A est contradictoire.
On ne dit pas que « A est faux » au sens absolu, mais que « si A était vrai, cela produirait une contradiction ».
Même si 𝐴 ∧ ¬𝐴 survient, on a pas nécessairement ⊥, et ⊥ n’explose pas le système puisqu'on ne peut rien en conclure.
La négation est définie via l’implication, ce qui rend le langage minimaliste et homogène :
A → B : “il existe une méthode pour transformer toute preuve de A en preuve de B”
- On ne se contente pas de dire “si A est vrai, alors B est vrai” (comme en logique classique).
- Il faut construire explicitement la preuve de B à partir de celle de A.
- Cela transforme l’implication en relation entre preuves, pas entre valeurs de vérité.
En logique minimale, on raisonne souvent avec des séquents :
Γ, ⊢, 𝐶
- Γ : hypothèses disponibles
- 𝐶 : conclusion que l’on veut prouver
- ⊢ : il existe une preuve construite à partir des hypothèses.
Pour l’implication :
𝐴 → 𝐵, on utilise la règle d’introduction de l’implication :
Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
________
Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵
Interprétation :
Si, en supposant 𝐴, on peut construire une preuve de 𝐵, alors on peut construire une preuve de 𝐴 → 𝐵 sans supposer 𝐴.
C’est exactement la traduction formelle de : “il faut construire explicitement B à partir de A”.
La logique minimale est la seule authentiquement constructiviste et la seule qui ne repose sur aucun postulat ontologique. C’est à la fois le cadre logique le plus prudent et le plus ouvert, tout en étant le moins arbitraire.
___
1. Principe central :
En logique minimale, une proposition n’est “vraie” que si elle est prouvée, c’est-à-dire si une preuve construite existe.
Il n’y a aucune vérité ontologique ou indépendante du système de preuves.
Ainsi, la notion classique de vérité (vrai/faux bivalent) n’a pas de sens ici.
2. Conséquences concernant une affirmation A :
On peut seulement dire :
- Il existe une preuve construite de A si tel est le cas,
ou
- Il n'existe aucune preuve construite de A si tel est le cas, et en quel cas A est illogique ou indéterminée.
- Les contradictions n’existent que si elles sont construites.
3. Reformulation intuitive :
En logique minimale, la vérité implique une existence de preuve. Tout ce qui n’est pas construit en terme de preuve n’est ni vrai ni faux, juste non prouvé, illogique.
___
Ce qui est original en logique minimale :
L’affirmation “𝐴 ∧ ¬𝐴 ”, sans construction, n’est pas une contradiction en logique minimale.
C’est juste une conjonction d’affirmations, qui n’implique rien, n’a aucune conséquence, et ne produit pas ⊥.
Elle est illogique, mais pas contradictoire dans le cadre minimaliste.
C’est exactement ce qui distingue la logique minimale :
La contradiction n’existe que si elle est construite, elle n’est jamais présupposée, contrairement à la logique classique ou intuitionniste.
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Conclusion :
En termes de logique minimal — on ne peut pas faire plus minimale en logique — Une affirmation gratuite, sans preuve construite, est illogique.
-----> Une affirmation gratuite, sans preuve construite, est illogique.
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Introduction à la logique minimale :
Ces systèmes dits "logiques", mais qui ne le sont pas — “para-consistants” ou autres “informels” — ne sont pas des logiques formelles au sens rationnel, puisqu’ils violent le principe fondamental de toute logique : celui de non-contradiction. Ce ne sont que des artifices pour manipuler des contradictions dans un cadre parfois technique, mais appeler cela une “logique” prête à confusion et légitime à tort des modes de raisonnement informels et inconsistants. Le mot “logique” y est utilisé comme un détournement terminologique.
Contrairement aux logiques paraconsistantes ou “informelles” : la logique minimale est une véritable logique formelle, elle ne viole pas le principe de non-contradiction, et elle ne prétend pas “tolérer” les contradictions : elle les traite de manière contrôlée.
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Voici une synthèse succincte des principes de la logique minimale :
1. Constructivisme strict : Une proposition n’est logique que si une preuve construite existe.
2. Négation constructive : ¬𝐴 si et seulement si 𝐴 → ⊥
Prouver ¬A revient à construire une méthode transformant toute preuve de A en ⊥.
3. Contradiction locale : 𝐴 ∧ ¬𝐴 → ⊥ est construite uniquement si les preuves existent et ⊥ n’implique rien d’autre par défaut.
4. Implication comme transformation de preuves : 𝐴 → 𝐵
Autrement dit : “il existe une méthode pour transformer toute preuve de A en preuve de B”.
5. Pas d’ex falso quodlibet : Une contradiction n’explose pas le système. On ne peut pas déduire arbitrairement une autre proposition à partir de ⊥.
6. Prudence et non-arbitraire : Rien n’est supposé ou présupposé ontologiquement. Toutes les conclusions doivent être explicitement construites à partir de preuves disponibles.
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En logique minimale, la définition de la négation est géniale :
Négation (¬) est définie comme suit : ¬A soit A → ⊥. Autrement dit : ¬A signifie qu'il existe une preuve que A est contradictoire.
On ne dit pas que « A est faux » au sens absolu, mais que « si A était vrai, cela produirait une contradiction ».
Même si 𝐴 ∧ ¬𝐴 survient, on a pas nécessairement ⊥, et ⊥ n’explose pas le système puisqu'on ne peut rien en conclure.
La négation est définie via l’implication, ce qui rend le langage minimaliste et homogène :
A → B : “il existe une méthode pour transformer toute preuve de A en preuve de B”
- On ne se contente pas de dire “si A est vrai, alors B est vrai” (comme en logique classique).
- Il faut construire explicitement la preuve de B à partir de celle de A.
- Cela transforme l’implication en relation entre preuves, pas entre valeurs de vérité.
En logique minimale, on raisonne souvent avec des séquents :
Γ, ⊢, 𝐶
- Γ : hypothèses disponibles
- 𝐶 : conclusion que l’on veut prouver
- ⊢ : il existe une preuve construite à partir des hypothèses.
Pour l’implication :
𝐴 → 𝐵, on utilise la règle d’introduction de l’implication :
Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
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Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵
Interprétation :
Si, en supposant 𝐴, on peut construire une preuve de 𝐵, alors on peut construire une preuve de 𝐴 → 𝐵 sans supposer 𝐴.
C’est exactement la traduction formelle de : “il faut construire explicitement B à partir de A”.
La logique minimale est la seule authentiquement constructiviste et la seule qui ne repose sur aucun postulat ontologique. C’est à la fois le cadre logique le plus prudent et le plus ouvert, tout en étant le moins arbitraire.
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1. Principe central :
En logique minimale, une proposition n’est “vraie” que si elle est prouvée, c’est-à-dire si une preuve construite existe.
Il n’y a aucune vérité ontologique ou indépendante du système de preuves.
Ainsi, la notion classique de vérité (vrai/faux bivalent) n’a pas de sens ici.
2. Conséquences concernant une affirmation A :
On peut seulement dire :
- Il existe une preuve construite de A si tel est le cas,
ou
- Il n'existe aucune preuve construite de A si tel est le cas, et en quel cas A est illogique ou indéterminée.
- Les contradictions n’existent que si elles sont construites.
3. Reformulation intuitive :
En logique minimale, la vérité implique une existence de preuve. Tout ce qui n’est pas construit en terme de preuve n’est ni vrai ni faux, juste non prouvé, illogique.
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Ce qui est original en logique minimale :
L’affirmation “𝐴 ∧ ¬𝐴 ”, sans construction, n’est pas une contradiction en logique minimale.
C’est juste une conjonction d’affirmations, qui n’implique rien, n’a aucune conséquence, et ne produit pas ⊥.
Elle est illogique, mais pas contradictoire dans le cadre minimaliste.
C’est exactement ce qui distingue la logique minimale :
La contradiction n’existe que si elle est construite, elle n’est jamais présupposée, contrairement à la logique classique ou intuitionniste.
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Conclusion :
En termes de logique minimal — on ne peut pas faire plus minimale en logique — Une affirmation gratuite, sans preuve construite, est illogique.
-----> Une affirmation gratuite, sans preuve construite, est illogique.
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