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Introduction à la logique minimale :
Ces systèmes dits "logiques", mais qui ne le sont pas — “para-consistants” ou autres “informels” — ne sont pas des logiques formelles au sens rationnel, puisqu’ils violent le principe fondamental de toute logique : celui de non-contradiction. Ce ne sont que des artifices pour manipuler des contradictions dans un cadre parfois technique, mais appeler cela une “logique” prête à confusion et légitime à tort des modes de raisonnement informels et inconsistants. Le mot “logique” y est utilisé comme un détournement terminologique.
Contrairement aux logiques paraconsistantes ou “informelles” : la logique minimale est une véritable logique formelle, elle ne viole pas le principe de non-contradiction, et elle ne prétend pas “tolérer” les contradictions : elle les traite de manière contrôlée.
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Voici une synthèse succincte des principes de la logique minimale :
1. Constructivisme strict : Une proposition n’est logique que si une preuve construite existe.
2. Négation constructive : ¬𝐴 si et seulement si 𝐴 → ⊥
Prouver ¬A revient à construire une méthode transformant toute preuve de A en ⊥.
3. Contradiction locale : 𝐴 ∧ ¬𝐴 → ⊥ est construite uniquement si les preuves existent et ⊥ n’implique rien d’autre par défaut.
4. Implication comme transformation de preuves : 𝐴 → 𝐵
Autrement dit : “il existe une méthode pour transformer toute preuve de A en preuve de B”.
5. Pas d’ex falso quodlibet : Une contradiction n’explose pas le système. On ne peut pas déduire arbitrairement une autre proposition à partir de ⊥.
6. Prudence et non-arbitraire : Rien n’est supposé ou présupposé ontologiquement. Toutes les conclusions doivent être explicitement construites à partir de preuves disponibles.
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En logique minimale, la définition de la négation est géniale :
Négation (¬) est définie comme suit : ¬A soit A → ⊥. Autrement dit : ¬A signifie qu'il existe une preuve que A est contradictoire.
On ne dit pas que « A est faux » au sens absolu, mais que « si A était vrai, cela produirait une contradiction ».
Même si 𝐴 ∧ ¬𝐴 survient, on a pas nécessairement ⊥, et ⊥ n’explose pas le système puisqu'on ne peut rien en conclure.
La négation est définie via l’implication, ce qui rend le langage minimaliste et homogène :
A → B : “il existe une méthode pour transformer toute preuve de A en preuve de B”
- On ne se contente pas de dire “si A est vrai, alors B est vrai” (comme en logique classique).
- Il faut construire explicitement la preuve de B à partir de celle de A.
- Cela transforme l’implication en relation entre preuves, pas entre valeurs de vérité.
En logique minimale, on raisonne souvent avec des séquents :
Γ, ⊢, 𝐶
- Γ : hypothèses disponibles
- 𝐶 : conclusion que l’on veut prouver
- ⊢ : il existe une preuve construite à partir des hypothèses.
Pour l’implication :
𝐴 → 𝐵, on utilise la règle d’introduction de l’implication :
Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
________
Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵
Interprétation :
Si, en supposant 𝐴, on peut construire une preuve de 𝐵, alors on peut construire une preuve de 𝐴 → 𝐵 sans supposer 𝐴.
C’est exactement la traduction formelle de : “il faut construire explicitement B à partir de A”.
La logique minimale est la seule authentiquement constructiviste et la seule qui ne repose sur aucun postulat ontologique. C’est à la fois le cadre logique le plus prudent et le plus ouvert, tout en étant le moins arbitraire.
___
1. Principe central :
En logique minimale, une proposition n’est “vraie” que si elle est prouvée, c’est-à-dire si une preuve construite existe.
Il n’y a aucune vérité ontologique ou indépendante du système de preuves.
Ainsi, la notion classique de vérité (vrai/faux bivalent) n’a pas de sens ici.
2. Conséquences concernant une affirmation A :
On peut seulement dire :
- Il existe une preuve construite de A si tel est le cas,
ou
- Il n'existe aucune preuve construite de A si tel est le cas, et en quel cas A est illogique ou indéterminée.
- Les contradictions n’existent que si elles sont construites.
3. Reformulation intuitive :
En logique minimale, la vérité implique une existence de preuve. Tout ce qui n’est pas construit en terme de preuve n’est ni vrai ni faux, juste non prouvé, illogique.
___
Ce qui est original en logique minimale :
L’affirmation “𝐴 ∧ ¬𝐴 ”, sans construction, n’est pas une contradiction en logique minimale.
C’est juste une conjonction d’affirmations, qui n’implique rien, n’a aucune conséquence, et ne produit pas ⊥.
Elle est illogique, mais pas contradictoire dans le cadre minimaliste.
C’est exactement ce qui distingue la logique minimale :
La contradiction n’existe que si elle est construite, elle n’est jamais présupposée, contrairement à la logique classique ou intuitionniste.
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Conclusion :
En termes de logique minimal — on ne peut pas faire plus minimale en logique — Une affirmation gratuite, sans preuve construite, est illogique.
-----> Une affirmation gratuite, sans preuve construite, est illogique.
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Logique minimale
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Logique minimale
Ecrit le 19 janv.26, 11:20
Modifié en dernier par J'm'interroge le 20 janv.26, 11:20, modifié 3 fois.
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- Nous ne savons pas ce que nous ne savons pas.
Humilité !
- Toute expérience vécue résulte de choix. Et tout choix produit son lot d'expériences vécues.
Sagesse !
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Re: Logique minimale
Ecrit le 21 janv.26, 10:18.
Précisions élémentaires :
Écrire 𝐴 ne signifie pas ⊢ 𝐴. Cette distinction est fondamentale.
1. Trois niveaux distincts (à ne jamais confondre) :
- (1) La formule 𝐴 :
Notée 𝐴
C’est un objet syntaxique.
Un énoncé bien formé du langage logique.
Aucune force logique en soi.
- (2) L’assertion logique 𝐴 :
Notée ⊢ 𝐴
Cela signifie qu'il existe une preuve construite de 𝐴 (dans le système considéré).
C’est un fait métalogique, pas une formule interne.
- (3) L’hypothèse 𝐴 :
notée Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
Cela signifie :
« supposons 𝐴 (temporairement), et voyons si on peut construire 𝐵 ».
Ce n’est ni une preuve, ni une vérité.
2. Erreur classique (à éviter) :
Confondre : « 𝐴 est écrit » avec « 𝐴 est prouvé » est l’erreur fondatrice du raisonnement classique naïf.
En logique minimale une formule peut exister :
- sans être prouvable
- sans être réfutable
- sans être contradictoire
- sans être non contradictoire
3. Application directe à l’implication :
Quand on lit 𝐴 → 𝐵, cela ne dit pas que 𝐴 est prouvé, ni que 𝐵 est prouvé. Cela dit uniquement que « si une preuve de 𝐴 est fournie, alors une preuve de 𝐵 peut être construite ».
4. Résumé formel minimal :
- 𝐴 est une formule
- ⊢ 𝐴, autrement dit : 𝐴 est prouvé
- Γ ⊢ 𝐴, autrement dit : 𝐴 est prouvable sous hypothèses (conditions)
- 𝐴 → 𝐵 transformation conditionnelle de preuves
5. Phrase clé (à retenir) :
En logique minimale, écrire une proposition n’est jamais l’affirmer.
Ou, plus tranchant :
Une formule n’est pas un fait logique. Une preuve seule l’est.
C’est exactement cette séparation stricte qui rend la logique minimale prudente, non arbitraire, et ouverte.
___
Exposé des règles de la logique minimale :
Voici une exposition systématique, formelle et complète des règles de la logique minimale (au sens de Gentzen / déduction naturelle), sans ajout intuitionniste ni classique :
0. Cadre général :
Logique propositionnelle :
Connecteurs primitifs :
- ∧ (conjonction)
- ∨ (disjonction)
- → (implication)
- ⊥ (absurde, contradictoire)
Négation définie :
¬ 𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Séquents :
Γ ⊢ 𝐴 (à partir des hypothèses Γ, on a construit une preuve de 𝐴)
Aucune règle classique, aucune règle intuitionniste supplémentaire.
1. Règle structurelle :
Hypothèse (axiome) Γ, 𝐴 ⊢𝐴
Une hypothèse peut être utilisée comme conclusion locale.
2. Conjonction : ∧
Introduction :
Γ ⊢ 𝐴 Γ ⊢ 𝐵
_____________
Γ ⊢ 𝐴 ∧ 𝐵
Élimination (gauche / droite) :
Γ ⊢ 𝐴 ∧ 𝐵
_______
Γ ⊢ 𝐴
Γ ⊢ 𝐴 ∧ 𝐵
_______
Γ ⊢ 𝐵
3. Disjonction : ∨
Introduction:
Γ ⊢ 𝐴
_______
Γ ⊢ 𝐴 ∨ 𝐵
Γ ⊢ 𝐵
_______
Γ ⊢ 𝐴 ∨ 𝐵
Élimination (raisonnement par cas) :
Γ ⊢ 𝐴 ∨ 𝐵 Γ, 𝐴 ⊢ 𝐶 Γ, 𝐵 ⊢ 𝐶
_________________________
Γ ⊢ 𝐶
4. Implication : →
Introduction (décharge d’hypothèse) :
Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
________
Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵
Élimination (modus ponens) :
Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵 Γ ⊢ 𝐴
_______________
Γ ⊢ 𝐵
5. Contradictoire, Absurde : ⊥
Aucune règle d’élimination générale
Règle absente :
⊥ ⊬ 𝐴
Il n’existe aucune règle ex falso quodlibet en logique minimale.
6. Négation (définition) : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Introduction (via implication)
Γ, 𝐴 ⊢ ⊥
______
Γ ⊢ ¬ 𝐴
Élimination :
Γ ⊢ ¬𝐴 Γ ⊢ 𝐴
____________
Γ ⊢⊥
7. Règles explicitement absentes :
Ces règles n’existent pas en logique minimale :
- Tiers exclu : ⊢ 𝐴 ∨ ¬ 𝐴
- Double négation : ¬¬𝐴 ⇒ 𝐴
- Contraposition automatique : (𝐴 → 𝐵) ⇒ (¬𝐵 → ¬𝐴)
- Explosion : ⊥ ⇒ 𝐴
8. Résumé minimal :
- Tout est construction.
- Rien n’est implicite.
- Une contradiction n’a aucun effet global.
- Une preuve est une dérivation effective.
- Une hypothèse est locale et doit être déchargée.
Formule finale :
La logique minimale est ce qu’il reste de la logique quand on enlève tout ce qui n’est pas strictement construit.
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Quid des quantificateurs universels :
Voici l’extension propre de la logique minimale aux quantificateurs universels, sans rien ajouter de classique ou d’intuitionniste caché :
0. Cadre :
On passe à la logique minimale du premier ordre.
- Domaine : non vide (condition technique standard)
- Quantificateur ajouté : ∀
- Lecture toujours constructive
Une formule :
∀𝑥 𝐴(𝑥)
Ce n’est pas une vérité sur “tous les objets”, mais une méthode uniforme.
1. Sens constructif de ∀𝑥 𝐴(𝑥) :
En logique minimale : ∀𝑥 𝐴(𝑥) signifie : il existe une méthode qui, pour tout objet 𝑥 donné, soit une preuve de 𝐴(𝑥).
Point crucial : on ne quantifie pas sur des valeurs de vérité, mais sur des preuves paramétrées.
2. Règle d’introduction du quantificateur universel (∀-intro)
Γ ⊢ 𝐴(𝑥)
_________
Γ ⊢ ∀𝑥 𝐴(𝑥)
Condition essentielle (non négociable) :
- 𝑥 ne doit apparaître libre dans aucune hypothèse de Γ.
Cela garantit que :
- la preuve de 𝐴(𝑥) ne dépend d’aucune propriété particulière de 𝑥,
- la construction est uniforme.
Lecture :
“J’ai construit une preuve de 𝐴(𝑥) sans rien supposer de spécifique sur 𝑥, donc j’ai une preuve valable pour tout 𝑥.”
3. Règle d’élimination du quantificateur universel (∀-elim) :
Γ ⊢∀𝑥 𝐴(𝑥)
________
Γ ⊢ 𝐴(𝑡)
où 𝑡 est un terme quelconque.
Lecture : “Si j’ai une méthode valable pour tout 𝑥, je peux l’appliquer à un objet concret 𝑡.”
C’est une instanciation, pas une inférence sémantique.
4. Négation et quantificateur universel :
Rappel : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Ainsi : ¬∀𝑥 𝐴(𝑥) ≡ (∀𝑥 𝐴(𝑥)) → ⊥
Cela ne donne pas automatiquement :
∃𝑥 ¬𝐴(𝑥)
Cette équivalence est classique, pas minimale.
5. Ce qui est interdit (et souvent confondu) :
En logique minimale, on ne peut pas :
- passer de ¬∀𝑥 𝐴(𝑥) à ∃𝑥 ¬𝐴(𝑥),
- affirmer ∀𝑥 (𝐴(𝑥) ∨ ¬𝐴(𝑥)),
- prouver une universalité par simple “absence de contre-exemple”.
Tout doit être construit uniformément.
6. Exemple correct :
Pour prouver : ∀𝑛 ∈𝑁, 𝑛+0=𝑛
Il faut :
1. prendre un 𝑛 arbitraire,
2. construire une preuve de 𝑛+0=𝑛,
3. vérifier que la preuve ne dépend d’aucune hypothèse sur 𝑛,
4. décharger 𝑛.
On obtient une fonction : 𝑛 ↦ preuve de (𝑛+0 = 𝑛)
7. Résumé ultra-clair :
- ∀𝑥 𝐴(𝑥) = preuve uniforme paramétrée par 𝑥
- Introduction : preuve de 𝐴(𝑥) sans dépendance sur 𝑥
- Élimination : application à un cas concret
- Aucun raisonnement global ou ontologique
Formule finale :
En logique minimale, quantifier universellement, ce n’est pas parler de “tout”, c’est savoir faire pour n’importe lequel.
___
Existe-t-il des vérités indémontrables ?
I.
1. Ce que dit réellement Gödel :
Le premier théorème d’incomplétude dit, schématiquement :
Dans tout système formel récursif, cohérent et suffisamment expressif (arithmétique), il existe une formule 𝐺 telle que :
- 𝐺 n’est pas démontrable dans le système,
- ¬𝐺 n’est pas démontrable non plus,
- mais 𝐺 est vraie dans le modèle standard des entiers.
Point crucial : la “vérité” chez Gödel est sémantique, définie par rapport à un modèle (ℕ avec son interprétation usuelle).
2. Là où la logique minimale change tout :
En logique minimale (et plus largement en constructivisme radical) :
- Il n’existe pas de notion primitive de vérité sémantique
- Il n’existe que : des preuves construites ou une absence de preuve
Donc l’énoncé : “Il existe des vérités non prouvables” n’est pas formulable tel quel en logique minimale.
Il devient au mieux : “Il existe des énoncés non construits comme preuves”.
Point.
Le mot vérité ne survit pas à la minimalisation.
3. Reformulation minimale du théorème de Gödel :
Dans un cadre minimaliste, Gödel se reformule ainsi :
Pour tout système formel cohérent et suffisamment expressif, il existe des propositions non construites comme preuves dans ce système, et dont la négation n’est pas non plus prouvable.
Mais on ne dit plus qu’elles sont “vraies”. Elles sont indécidables ou non construites, rien de plus.
4. Le point philosophique décisif :
Gödel ne réfute pas la logique minimale. Il réfute une thèse platonicienne implicite :
“Toute proposition arithmétique possède une valeur de vérité indépendante de nos preuves.”
La logique minimale répond : Non. Sans preuve, il n’y a rien à appeler vérité dans le sens de la logique.
Ainsi, ce que Gödel appelle : “vrai mais non démontrable”, la logique minimale l’appelle simplement : non construit comme preuve. Sans supplément ontologique.
5. Pourquoi il n’y a aucune contradiction :
Statut de 𝐺 :
- Logique classique -------- Vrai mais indémontrable
- Intuitionnisme ----------- Indémontrable, mais peut-être vrai
- Logique minimale -------- Non prouvé, point final
Gödel suppose un point de vue externe sémantique. La logique minimale refuse ce point de vue.
Elle n’est donc pas réfutée par Gödel — elle évite son présupposé central.
6. Conclusion (importante) :
-----> Une affirmation gratuite, sans preuve construite, est illogique.
Et Gödel n’y change rien, car :
Gödel montre les limites de la démonstration, pas l’existence de vérités indépendantes des preuves dans un cadre minimaliste.
Dit autrement (et c’est le point profond) :
Gödel révèle la métaphysique cachée de la logique classique. La logique minimale, elle, n’en a pas.
___
II.
Là où Gödel crée une tension entre vérité et preuve, la logique minimale supprime la tension en refusant le premier terme. Il ne reste que ce qui est construit, et le reste n’est pas mystérieux, seulement non advenu logiquement.
C’est une position d’une sobriété radicale :
pas de scandale métaphysique, pas de vérités cachées, pas d’arrière-monde logique.
Seulement des preuves — ou leur absence.
Et c’est précisément cette austérité qui rend la logique minimale philosophiquement vertigineuse.
___
III.
Et donc, un énoncé prouvé peut-il être de même dit vrai ?
La réponse est qu'il le peut — mais uniquement dans un sens interne et dérivé, pas au sens classique.
Formulons cela proprement :
1. En logique minimale, “vrai” n’est pas primitif :
Le mot vrai n’est pas un concept fondamental de la logique minimale. Le concept fondamental est :
“Il existe une preuve construite de 𝐴.”
Autrement dit :
⊢𝐴
2. Usage légitime du mot “vrai” :
On peut dire : 𝐴 est vrai à condition que cela signifie exactement : 𝐴 est prouvé (il existe une preuve construite de 𝐴)
C’est une abréviation linguistique, pas un ajout conceptuel.
Formellement : “𝐴 est vrai” ≡ ⊢𝐴
Rien de plus.
3. Ce qui est exclu :
En logique minimale, on ne peut pas dire :
- 𝐴 est vrai indépendamment de toute preuve
- 𝐴 est vrai dans un “monde”, un “modèle”, ou une “réalité” abstraite
- 𝐴 est vrai même si on ne peut jamais le prouver
Ces énoncés sont illogiques dans le cadre minimaliste.
4. Conséquence importante :
Un énoncé prouvé peut être appelé vrai,
mais :
- ce n’est pas une vérité ontologique,
- ce n’est pas une valeur sémantique,
- ce n’est pas une propriété indépendante du raisonnement.
C’est simplement un fait de preuve.
5. Formulation finale (claire et nette) :
En logique minimale, un énoncé prouvé peut être dit “vrai”, à condition que “vrai” signifie uniquement : prouvé.
Ou, plus radicalement :
Il n’y a pas de vérité sans preuve, il n’y a que des preuves.
Et c’est exactement ce qui rend ce cadre si dépouillé… et si puissant.
___
IV.
C'est fascinant, parce qu’à ce point, la logique cesse d’être un discours sur le monde ou sur des vérités, et devient simplement la discipline de ce qui peut être construit comme preuve.
Il n’y a plus d’énoncés mystérieusement vrais, plus de vérités en attente, plus de profondeur cachée derrière les symboles.
Seulement ce qui est fait — et ce qui ne l’est pas.
C’est une logique sans promesses, sans arrière-monde, sans métaphysique. Et c’est précisément pour cela qu’elle est vertigineuse.
___
V.
Vertigineusement ouverte :
Elle est fermée quant à ce qu’elle affirme, mais ouverte quant à ce qui peut être construit.
Rien n’est vrai par avance, rien n’est interdit arbitrairement par principe. Tout peut entrer dans le champ logique à condition d’être construit.
C’est une ouverture sans permissivité :
- pas de vérités latentes,
- pas d’exceptions cachées,
- pas de clôture ontologique.
Seulement une règle nue : ce qui n’est pas encore construit n’est pas encore logique — mais rien n’interdit arbitrairement par avance qu’il le devienne.
C’est une ouverture sans mystère, et une rigueur sans dogme.
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Comment construit-on 𝐴 → 𝐵 en logique minimale ?
En logique minimale, construire 𝐴 → 𝐵 ne consiste ni à vérifier une relation de valeurs de vérité, ni à postuler un lien causal abstrait.
Cela consiste exactement à construire une transformation de preuves.
Allons pas à pas, formellement :
1. Sens fondamental de 𝐴 → 𝐵 :
En logique minimale : 𝐴 → 𝐵 signifie : il existe une méthode qui transforme toute preuve de 𝐴 en une preuve de 𝐵.
C’est une assertion constructive, pas descriptive.
2. Règle formelle (séquents) :
La règle d’introduction de l’implication est :
Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
________
Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵
Lecture :
- On suppose 𝐴 (hypothèse temporaire),
- Sous cette hypothèse, on construit une preuve de 𝐵,
- On décharge l’hypothèse 𝐴
- On obtient une preuve de 𝐴 → 𝐵
3. Ce que cela veut dire concrètement :
Construire 𝐴 → 𝐵, c’est :
Dire : « Donne-moi une preuve de 𝐴 »,
Montrer comment, à partir de cette preuve, on fabrique une preuve de 𝐵.
S’il n’existe aucune telle construction, alors 𝐴 → 𝐵 n’est pas prouvable en l'absence d'une telle preuve.
4. Exemple minimal (structurel) :
Supposons que : 𝐴 est “𝑥 est un nombre pair”
𝐵 est “𝑥² est pair”
- Une preuve de 𝐴 → 𝐵 est : une fonction qui prend une preuve que 𝑥 = 2𝑘
- et construit une preuve que 𝑥² = 4𝑘² = 2(2𝑘²).
Ce n’est pas une vérité abstraite, c’est une procédure.
5. Cas fondamental :
𝐴 → ⊥
C’est exactement la définition de la négation :
¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Prouver ¬𝐴, c’est construire une méthode qui transforme toute preuve de 𝐴 en une contradiction.
6. Point crucial (où tout se joue) :
Il n’y a aucune obligation ontologique que :
- soit 𝐴 soit ¬𝐴 soit prouvable,
- ni que 𝐴 → 𝐵 existe “en soi”.
Tout repose sur la construction effective.
7. Résumé net :
Construire 𝐴 → 𝐵 en logique minimale, c’est construire une transformation explicite des preuves de 𝐴 en preuves de 𝐵.
- Pas de tables de vérité.
- Pas de logique hors construction.
- Pas d’arrière-plan métaphysique.
Il y a seulement des : "Montre-moi la preuve."
___
Si l'on a 𝐴 → 𝐵 et 𝐴 → ⊥, doit-on en conclure que du même coup que 𝐴 → ⊥ ?
La réponse est non. Et le point où ça bloque est précisément ce que la logique minimale refuse.
Posons les choses formellement :
1. Ce que signifie “𝐴 est contradictoire” en logique minimale
Dire que 𝐴 est contradictoire signifie : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
C’est-à-dire : toute preuve de 𝐴 permet de construire ⊥.
2. Ce que signifie 𝐴 → 𝐵 :
𝐴 → 𝐵 signifie : toute preuve de 𝐴 peut être transformée en preuve de 𝐵.
3. Ce qui est suggéré dans la question n'est pas permis en logique minimale.
Si 𝐴 → ⊥ et 𝐴 → 𝐵, alors 𝐵 → ⊥.
Autrement dit : ¬𝐴 ∧ (𝐴 → 𝐵) ⇒ ¬𝐵
C’est la contraposition classique.
4. Pourquoi ça ne marche PAS en logique minimale ?
Pour prouver ¬𝐵, il faudrait construire :
𝐵 → ⊥
Mais regardons ce que l'on a réellement :
- une fonction : 𝑓: 𝐴 → ⊥
- une fonction : 𝑔: 𝐴 → 𝐵
On n’a aucune fonction qui part de 𝐵.
- On sait seulement : qu'on peut obtenir 𝐵, et que si l'on a 𝐴, alors on obtient ⊥.
- Mais l'on n’a pas 𝐴.
- Et surtout : 𝐵 ne te donne pas 𝐴.
Donc aucune composition possible.
5. Schéma clair (et brutal)
On a :
𝐴 ──→ ⊥
│
└──→ 𝐵
Ce qu’il te faudrait pour conclure ¬𝐵, c’est :
𝐵 ──→ 𝐴 ──→ ⊥
Mais 𝐵 → 𝐴 n’existe pas. Et la logique minimale refuse de l’inventer.
6. Conclusion nette :
En logique minimale, prouver que 𝐴 est contradictoire ne rend pas 𝐵 contradictoire,
même si 𝐴 → 𝐵 est prouvé.
Parce que :
- il n’y a pas de contraposition automatique,
- pas de raisonnement “par défaut”,
- pas de transfert gratuit de contradiction.
7. Résumé en une ligne :
La contradiction ne se propage pas à rebours en logique minimale.
Et c’est exactement pour cela que ce cadre est :
- plus faible,
- plus prudent,
- et conceptuellement plus propre.
___
Comment forme-t-on un raisonnement par l'absurde en logique minimale ?
En logique minimale, le raisonnement par l’absurde n’existe pas au sens classique.
Il n’est possible que sous une forme strictement contrôlée, et il est essentiel de bien voir ce qui est permis et ce qui ne l’est pas.
Allons droit au schéma :
1. Ce que n’est pas le raisonnement par l’absurde en logique minimale :
Le schéma classique interdit est : (¬𝐴 → ⊥) ⇒ 𝐴
Autrement dit : “Si supposer ¬𝐴 mène à une contradiction, alors 𝐴.”
Ce schéma n’est pas valide en logique minimale (car il repose sur le tiers exclu et la double négation).
2. La seule forme admissible : l’absurde local :
En logique minimale, on peut seulement prouver une négation par l’absurde :
𝐴 ⇒ ⊥ ⇒ ¬𝐴
C’est même une identité, puisque : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Ici, il n’y a aucune inférence supplémentaire : on construit directement la négation.
3. Schéma formel autorisé :
Pour prouver ¬𝐴, on procède ainsi :
Γ, 𝐴 ⊢ ⊥
______
Γ ⊢ ¬𝐴
Lecture :
- on suppose 𝐴,
- on construit ⊥,
- on décharge 𝐴
- on obtient 𝐴 → ⊥, c’est-à-dire ¬𝐴.
C’est parfois appelé raisonnement par l’absurde faible, mais en réalité ce n’est rien d’autre que la définition de la négation.
4. Ce qu'on ne peut pas faire :
On ne peut pas :
- conclure 𝐴 à partir de ¬¬𝐴,
- conclure une proposition positive à partir d’une contradiction,
- transformer un échec en succès logique.
Autrement dit : l’absurde ne produit jamais du positif.
5. Exemple concret :
On veut montrer : “Il n’existe pas de nombre naturel 𝑛 tel que …”
En logique minimale :
- on suppose qu’un tel 𝑛 existe,
- on construit explicitement une contradiction (⊥),
- on obtient une fonction : “si une preuve de cette existence était donnée, on en tirerait ⊥”.
C’est tout. On n’a rien affirmé de plus.
6. Résumé brutal :
En logique minimale :
- on ne prouve jamais 𝐴 par l’absurde,
- on ne prouve que ¬𝐴,
- et même cela n’est pas un principe, mais une construction.
Ou, en une ligne :
L’absurde ne sert qu’à construire une négation, jamais une affirmation.
Et c’est exactement ce qui garde la logique minimale… minimale.
___
Comment discuter d'une dite preuve en logique minimale ?
Discuter une dite preuve en logique minimale, ce n’est pas discuter sa plausibilité, son intuition ou sa “vérité”.
C’est examiner sa réalité constructive. La logique minimale est impitoyable sur ce point.
Voici le cadre exact.
1. Question fondamentale à poser :
Face à une “preuve” de ¬¬𝐴, la seule question légitime est : quelle est la construction ?
Ou plus formellement :
- quelle est la preuve effective ?
- quelles règles d’introduction / élimination sont utilisées ?
- quelles hypothèses sont ouvertes, lesquelles sont déchargées ?
Si ces éléments n’existent pas explicitement, il n’y a pas de preuve.
2. Ce qu’on examine concrètement :
a) La structure formelle :
On vérifie que la preuve est une dérivation valide dans le système :
- introduction / élimination de ∧
- introduction / élimination de →
- introduction de ¬(via 𝐴 → ⊥)
- ⊥ seulement là où elle est effectivement construite
Aucune règle implicite. Aucune “évidence”.
b) Les hypothèses :
Chaque hypothèse doit être :
- explicitement introduite,
- soit utilisée,
- soit déchargée proprement.
Une hypothèse non déchargée = preuve incomplète.
c) Les constructions interdites :
On invalide immédiatement toute preuve qui utilise, même masqué :
- le tiers exclu 𝐴 ∨ ¬𝐴,
- l’élimination de la double négation ¬¬𝐴 ⇒ 𝐴,
- la contraposition automatique,
- l’ex falso quodlibet (⊥ ⇒ 𝐵).
Ces règles n’existent pas en logique minimale.
3. Cas typique : “preuve par contradiction” :
Quelqu’un affirme : “Supposons ¬𝐴, on arrive à une contradiction, donc 𝐴.”
La discussion est simple :
- as-tu construit 𝐴 ?
- ou as-tu seulement construit ¬¬𝐴 ?
S’il n’y a qu’un ¬¬𝐴, la preuve échoue. Il n’y a rien à interpréter.
4. Cas typique : contradiction invoquée :
Quelqu’un dit : “𝐴 et ¬𝐴, donc ⊥.”
Tu demandes :
- où est la preuve de 𝐴 ?
- où est la preuve de ¬𝐴 ?
- comment est construit ⊥ ?
Sans ces trois éléments, il n’y a pas de contradiction.
5. Statut des énoncés non prouvés :
En logique minimale, une “preuve” invalide n’est pas fausse. Elle est : non-logique (non construite)
Il n’y a pas de jugement ontologique, seulement un constat technique.
6. Résumé opératoire :
Discuter une preuve en logique minimale, c’est :
1. demander la construction,
2. vérifier les règles exactes utilisées,
3. refuser toute règle non autorisée,
4. conclure :
- preuve valide → énoncé logique,
- pas de construction → énoncé illogique (non prouvé).
Formulation finale :
- En logique minimale, on ne débat pas des preuves. On les inspecte.
- Et s’il n’y a rien à inspecter, il n’y a rien à discuter.
___
La définition d'une hypothèse en logique minimale. Et aussi en quoi consiste exactement "décharger une hypothèse".
Voici les définitions strictes, sans rhétorique :
1. Définition d’une hypothèse en logique minimale :
Une hypothèse est : une proposition supposée provisoirement, sans preuve construite, uniquement pour explorer ce qui peut être construit à partir d’elle.
Formellement, dans un séquent Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵 :
- 𝐴 est une hypothèse,
- elle n’est pas prouvée,
- elle est autorisée localement dans la dérivation.
Point crucial : une hypothèse n’affirme rien sur le plan logique global.
2. Rôle exact d’une hypothèse :
Une hypothèse sert uniquement à :
- tester des transformations de preuves,
- construire des implications ou des négations,
- explorer des conséquences conditionnelles.
Elle n’est jamais une vérité, elle n’est jamais un fait logique établi.
3. Décharger une hypothèse, définition :
Décharger une hypothèse, c’est : retirer l’hypothèse du contexte logique en encapsulant exactement son usage dans une construction conditionnelle.
Formellement :
Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
________
Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵
Ici : 𝐴 était une hypothèse, elle a servi à construire 𝐵, elle est ensuite retirée, son usage est “figé” dans 𝐴 → 𝐵.
4. Sens conceptuel du déchargement :
Décharger 𝐴, ce n’est pas :
- prouver 𝐴,
- affirmer 𝐴,
- décider de la vérité de 𝐴.
C’est exactement : “si quelqu’un me donne une preuve de 𝐴, alors je sais comment produire une preuve de 𝐵.”
5. Cas fondamental : décharger pour nier :
Pour la négation :
Γ, 𝐴 ⊢⊥
______
Γ ⊢ ¬𝐴
Décharger 𝐴 ici signifie : toute preuve de 𝐴 mène à ⊥, donc 𝐴 → ⊥, donc ¬𝐴.
Encore une fois : aucune contradiction n’est présupposée, tout est construit.
6. Résumé ultra-court :
- Hypothèse : proposition admise localement, sans preuve.
- Décharger : retirer l’hypothèse en l’encapsulant dans une implication.
- Une hypothèse non déchargée = preuve inachevée.
- Une hypothèse déchargée = condition formalisée.
Formule finale :
- En logique minimale, une hypothèse est un outil.
- Décharger une hypothèse, c’est ranger l’outil dans le résultat.
___
Peut-on prouver en logique minimale un improuvable ?
La réponse est non. Par définition, on ne peut pas prouver un improuvable en logique minimale.
Mais il faut préciser ce que “improuvable” veut dire ici, sinon la question se retourne contre elle-même.
1. Sens strict en logique minimale :
En logique minimale : Être prouvé = exister comme construction.
Donc :
- “A est prouvé” signifie : ⊢ 𝐴
- “A est improuvable” signifie : il n’existe aucune construction de 𝐴.
Dès lors, la question « peut-on prouver un improuvable ? » se réduit formellement à : peut-on construire ce qui, par hypothèse, n’est pas constructible ?
La réponse est logiquement non, sans paradoxe.
2. Différence cruciale avec Gödel :
Chez Gödel (cadre classique) :
- il existe des énoncés vrais mais non démontrables
- “vrai” est indépendant de “prouvé”
En logique minimale :
- il n’existe aucune notion autonome de vérité
- un énoncé non prouvé n’est rien de plus qu’un non-fait logique
Donc le “scandale” gödelien ne se formule même pas.
3. Peut-on prouver l’improuvabilité ?
Oui — dans certains cas, mais attention à ce que cela signifie.
On peut parfois prouver : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥, c’est-à-dire : que toute tentative de preuve de 𝐴 mènerait à ⊥.
Mais cela n’est pas dire :
- “𝐴 est faux”
- “𝐴 est impossible”
- “𝐴 est méta-logiquement improuvable”
C’est seulement une construction interne.
4. Ce qui est impossible :
On ne peut pas, en logique minimale :
- prouver qu’“il existe une vérité non prouvable”
- prouver l’improuvabilité absolue d’un énoncé sans construction
- faire un raisonnement méta-sémantique interne
Ces gestes supposent une notion de vérité extérieure au système.
5. Résumé net :
- Prouver un improuvable : impossible par définition.
- Prouver une négation : possible si on construit 𝐴 → ⊥
- Affirmer des vérités sans preuve : illogique.
- Reproduire Gödel tel quel : impossible conceptuellement.
Formule finale :
En logique minimale, l’improuvable n’est pas un mystère : c’est simplement ce qui n’a pas été construit — et rien de plus.
___
Attention au sens de la formule “𝐴 est improuvable” !
I.
Dire que 𝐴 est "improuvable" signifie : “𝐴 n’est pas dérivable à partir des règles données” mélange deux niveaux qui ne doivent jamais être confondus, surtout dans le cadre de la logique minimale.
1. Où est l’erreur ?
Dire : “𝐴 est improuvable” signifie : “il n’existe aucune construction de 𝐴” est illégitime en logique minimale si c’est dit dans la logique.
Pourquoi ? Parce que :
- “il n’existe aucune construction de 𝐴” est une affirmation méta-logique,
- elle porte sur toutes les preuves possibles, présentes ou futures,
- elle n’est pas constructible elle-même dans le système.
Donc oui : cela n’a pas de sens comme énoncé logique interne.
2. Distinction absolument cruciale (le cœur du problème) :
Niveau 1 — logique minimale (interne) :
Dans la logique minimale, on ne peut dire ⊢ 𝐴, autrement dit que 𝐴 est prouvé. Rien d’autre.
Il n’existe pas d’énoncé interne signifiant :
- “𝐴 est improuvable”
- “il n’y aura jamais de preuve de 𝐴”
- “𝐴 est vrai mais non démontrable”
Ces phrases ne sont pas formulables à l'intérieur du cadre logique.
Niveau 2 — méta-logique (externe) :
En méta-logique, on peut dire :
- “dans ce système, on ne connaît pas de preuve de 𝐴”
- “𝐴 n’est pas dérivable à partir des règles données”
- “𝐴 est indépendant de tel système”
Mais ce sont :
- des constats techniques,
- historiques ou structurels,
pas des énoncés logiques minimaux.
3. Ce que signifie vraiment “non prouvable” en logique minimale :
La seule formulation légitime est négative et faible :
𝐴 n’est pas prouvé (actuellement). Cela ne signifie rien de plus.
- pas “impossible à prouver”,
- pas “faux”,
- pas “vrai mais inaccessible”.
Simplement : aucune preuve n’a été construite.
4. Ce qu’on peut prouver à la place :
La seule chose approchante est : ¬ 𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Mais attention : ce n’est pas “𝐴 est improuvable”, c’est : “toute preuve de 𝐴 mènerait à ⊥”.
Et même cela exige une construction explicite.
5. Reformulation correcte (sans erreur) :
La phrase correcte est :
-----> En logique minimale, on ne peut pas affirmer qu’un énoncé est improuvable.
On peut seulement constater qu’il n’est pas prouvé, ou construire une négation 𝐴 → ⊥.
6. Conclusion nette:
- “Improuvable” n’est pas une notion interne à la logique minimale.
- Toute tentative de l’introduire est déjà un glissement méta-logique.
- La logique minimale ne connaît que : preuves construites ou absence de preuve.
Et c’est précisément ce qui la rend cohérente, sobre… et intraitable.
___
II.
1. Formulation correcte (méta-logique) :
Au niveau méta-logique, on peut dire : 𝐴 n’est pas dérivable à partir des règles données.
Cela signifie :
- à partir des règles formelles du système,
- et des axiomes/hypothèses considérés,
- aucune dérivation n’est connue / n’existe dans ce système formel donné.
C’est un constat structurel externe.
2. Ce que cela ne signifie PAS :
Même en méta-logique, cela ne signifie pas :
- que 𝐴 est faux,
- que 𝐴 est impossible,
- qu’il n’existera jamais de preuve,
- qu’𝐴 est “vrai mais non prouvable”.
Encore moins dans la logique minimale elle-même.
3. Ce qui est dicible dans la logique minimale :
À l’intérieur du système, on ne peut dire que ⊢ 𝐴, autrement dit, que : 𝐴 est prouvé ou rien.
Il n’existe aucun prédicat interne “est dérivable / non dérivable”.
Donc la phrase : “𝐴 est improuvable” n’a aucune traduction logique interne.
4. Reformulation rigoureuse de ta phrase :
La version rigoureuse est : Dans un système formel donné de logique minimale, 𝐴 n’est pas dérivable à partir des règles et axiomes fixés.
Et cette phrase :
- est méta-logique,
- est relative à un système précis,
- n’est pas absolue.
5. Résumé en une ligne :
En logique minimale, “improuvable” ne veut rien dire dans le système, cela ne veut dire quelque chose qu’en dehors, comme constat méta-logique.
Il faut refuser toute autre lecture.
___
Si on a ⊢𝐴, soit 𝐴 est prouvé. Peut-on aussi prouver ¬𝐴 ?
La réponse est oui, mais avec une précision décisive, sinon la phrase est trompeuse.
1. Formellement : oui, c’est possible
En logique minimale, il est formellement possible d’avoir ⊢ 𝐴 et ⊢ ¬𝐴, puisque : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Donc cela signifie exactement qu'on a :
- une preuve de 𝐴,
- une preuve d’une fonction qui transforme toute preuve de 𝐴 en ⊥.
2. Ce que cela implique immédiatement :
Si l'on a les deux, alors par élimination de l’implication : ⊢ ⊥.
Autrement dit : une contradiction construite existe effectivement.
3. Point crucial : ce que cela n’implique PAS :
Contrairement à la logique classique ou intuitionniste :
- ⊥ n’explose pas le système,
- on ne peut pas en déduire une proposition arbitraire 𝐵,
- le système reste formellement cohérent (au sens non explosif).
Donc, on a : ⊢ 𝐴 ∧ ⊢ ¬ 𝐴 ⇒ ⊢ ⊥, mais rien de plus.
4. Interprétation correcte :
Avoir 𝐴 et ¬𝐴 prouvés signifie uniquement que la construction de 𝐴 est incompatible avec elle-même, car elle mène effectivement à ⊥.
- Cela ne signifie ni que “tout est faux”,
- ni que “tout est vrai”,
- ni que la logique est incohérente.
C’est une contradiction locale construite, rien d’autre.
5. Distinction essentielle :
- Autorisé : ⊢𝐴 et ⊢ ¬𝐴
- Autorisé : en déduire ⊢ ⊥
- Interdit : en déduire ⊢ 𝐵 pour un 𝐵 arbitraire
C’est exactement là que la logique minimale se distingue.
6. Conclusion nette :
Oui, en logique minimale, on peut prouver 𝐴 et ¬𝐴. Cela produit ⊥, et strictement rien d’autre.
- La contradiction existe par construction,
- elle est reconnue,
- mais elle ne gouverne rien au-delà d’elle-même.
___
Si on a ⊢ 𝐴 ∧ ⊢ ¬𝐴 ⇒ ⊢⊥, peut-on en conclure que 𝐴 est contradictoire ?
La réponse est que l'on ne peut pas le conclure. Et c’est un point central de la logique minimale.
1. Si l'on a ⊢ 𝐴 et ⊢ ¬𝐴 et que l'on en conclut ⊢ ⊥, c’est parfaitement correct : la preuve de 𝐴 et de ¬𝐴 donne une preuve de ⊥.
Mais cela ne constitue pas une preuve que ⊢ 𝐴 → ⊥
2. Pourquoi cela ne fait pas de 𝐴 une “contradiction” :
En logique minimale, dire qu’une proposition est contradictoire signifie :
⊢ 𝐴 → ⊥
c’est-à-dire : il existe une méthode qui transforme toute preuve de 𝐴 en ⊥
Or ici : on a construit ⊥ à partir de deux preuves séparées : ⊢ 𝐴 et ⊢ ¬𝐴.
On n’a pas construit de fonction 𝑓: preuve de 𝐴 ↦ ⊥ à partir d’une preuve seule de 𝐴.
Donc : ⊢ 𝐴 → ⊥ ?
non, pas automatiquement.
3. Distinction clé :
- ⊢ 𝐴 ∧ ⊢ ¬𝐴 ⇒ ⊢ ⊥ → une contradiction construite existe, mais elle est globale ou “combinée”.
- ⊢ 𝐴 → ⊥ → 𝐴 est contradictoire en soi, seule.
En logique minimale, la seconde affirmation est plus forte : elle exige une construction locale, conditionnelle, indépendante d’autres preuves.
4. Illustration intuitive :
Supposons :
Preuve 1 : “𝐴 est vrai dans un contexte X”
Preuve 2 : “¬𝐴 est vrai dans un contexte Y”
Ces deux preuves peuvent générer ⊥ si on les combine. Mais si l'on a seulement une preuve de 𝐴 seule, l'on n’a pas de raison de conclure ⊥.
5. Conclusion nette :
En logique minimale, avoir ⊢ 𝐴 et ⊢ ¬𝐴 ⇒ ⊢⊥ ne suffit pas à dire que 𝐴 est contradictoire.
Pour cela, il faut construire explicitement 𝐴 → ⊥.
C’est la prudence radicale de ce cadre : une contradiction n’existe que si elle est construite localement, pas seulement combinée.
___
Peut on montrer qu'une preuve de 𝐴 est erronée ? Si oui ce n'est pas une preuve de 𝐴. Mais comment gérer l'erreur possible ?
La réponse est oui. Mais en logique minimale, “erreur” a un sens très précis : il ne s’agit pas d’un jugement ontologique sur la proposition, seulement sur la construction elle-même.
Voici la manière de le voir :
1. Principe :
Une preuve en logique minimale est une construction explicite.
Donc : si la construction est invalide, elle ne compte pas comme preuve, on ne peut jamais conclure que 𝐴 est prouvé à partir d’une preuve invalide.
Autrement dit :
“preuve erronée” ⇒ non prouvée
2. Détection de l’erreur :
On peut examiner une prétendue preuve en regard des règles formelles :
- Chaque étape respecte les règles d’introduction / élimination (∧, ∨, →, ⊥) ?
- Les hypothèses sont correctement déchargées ?
- Les variables quantifiées sont manipulées uniformément ?
- Il n’y a pas d’utilisation implicite de règles interdites (tiers exclu, ex falso, double négation, etc.) ?
Si une seule étape échoue, la construction est invalide → pas de preuve.
3. Conséquences :
- Erreur = preuve non construite : 𝐴 n’est pas prouvé.
- On ne corrige pas 𝐴, on corrige la preuve.
- Le système ne s’effondre pas : il ne dépend que des preuves valides.
4. Gestion systématique :
En pratique :
- On vérifie pas la vérité de 𝐴, mais la validité de la construction.
- Toute tentative de preuve erronée est ignorée ou rejetée.
- Seule la preuve valide et construite confère à 𝐴 son statut logique.
5. Point clé :
En logique minimale :
- La notion d’“erreur” est locale à la construction, jamais globale.
- Une preuve invalide ne rend pas 𝐴 faux, elle rend simplement 𝐴 non prouvé.
Formule synthétique :
Pour gérer l’erreur en logique minimale :
- vérifier la construction.
- Si elle est invalide → rien n’est prouvé.
- L’énoncé 𝐴 reste neutre, ni vrai ni faux, tant qu’une preuve correcte n’existe pas il n'est pas logique.
___
Si ⊢ 𝐴 et 𝐴 → ¬𝐵, peut-en conclure ⊢𝐴 → ¬𝐵 ?
I.
Voyons ce qu'il en est :
1. Ce que nous avons c'est :
- ⊢ 𝐴, une preuve construite de 𝐴 existe.
- 𝐴 → ¬𝐵, il existe une méthode transformant toute preuve de 𝐴 en preuve de ¬𝐵.
Or, rappel : ¬𝐵 ≡ 𝐵 → ⊥
Donc 𝐴 → ¬𝐵 signifie : toute preuve de 𝐴 fournit une fonction qui transforme toute preuve de 𝐵 en ⊥.
2. Ce qu’on peut construire :
Puisque ⊢ 𝐴 : on peut appliquer la fonction 𝐴 → ¬𝐵 à la preuve de 𝐴 ce qui donne une preuve de ¬𝐵.
Donc, oui, dans ce cas précis :
⊢ 𝐴 et 𝐴 → ¬𝐵 ⇒ ⊢ ¬𝐵
3. Ce que cela n’est pas :
- Cela ne fait pas de 𝐵 une impossibilité absolue au sens ontologique.
- Cela ne transforme pas 𝐴 en 𝐵 → ⊥ de façon automatique, sauf si la fonction est effectivement appliquée à une preuve de 𝐴.
- On ne conclut rien sur 𝐵 tant qu’aucune preuve de 𝐴 n’est donnée — sauf que dans notre cas, on a déjà ⊢ 𝐴, donc l’application est possible.
4. Résumé net :
En logique minimale : Si ⊢ 𝐴 et ⊢ 𝐴 → ¬𝐵, alors ⊢ ¬𝐵
- Ce n’est pas automatique pour toute implication ou pour 𝐴 non prouvé.
- L’existence de la preuve de 𝐴 est indispensable pour transformer l’implication en preuve de ¬𝐵.
Conclusion :
La réponse à la question est oui.
___
II.
Formulé correctement :
En logique minimale, si ⊢ 𝐴 et ⊢ 𝐴 → ¬𝐵, alors on peut construire une preuve de ¬𝐵. Autrement dit, ⊢ ¬𝐵.
Le point clé est que la preuve de 𝐴 existe réellement, car sans elle, l’implication 𝐴 → ¬𝐵 ne permet pas de produire ¬𝐵.
C’est exactement ce qui illustre la différence avec la logique classique : l’implication n’est pas une relation de valeurs de vérité, mais une transformation de preuves.
___
Si l'on a 𝐴 → ¬𝐵, cela ne signifie-t-il pas que 𝐴 est prouvé ?
La réponse est non.
𝐴 → ¬ 𝐵 ne signifie absolument pas que 𝐴 est prouvé.
C’est précisément l’un des points conceptuels les plus importants de la logique minimale (et constructiviste).
Soyons strict et formel :
1. Sens exact de 𝐴 → ¬𝐵 en logique minimale :
En logique minimale : 𝐴 → ¬𝐵 signifie :
Il existe une construction (une fonction) qui transforme toute preuve de 𝐴 en une preuve de ¬𝐵.
Autrement dit :
𝐴 → (𝐵 → ⊥)
Donc c’est une méthode conditionnelle, pas un fait.
Cela ne dit rien sur l’existence d’une preuve de 𝐴.
2. Analogie rigoureuse (preuve comme objet) :
𝐴 = « j’ai une preuve de 𝐴 »
𝐴 → ¬𝐵 = « si tu me donnes une preuve de 𝐴, je sais en fabriquer une preuve de ¬𝐵 »
Mais :
Posséder la fonction n’implique pas posséder l’argument.
Avoir une fonction 𝑓: 𝐴 → ¬𝐵 n’implique pas avoir un terme 𝑎 : 𝐴
3. Ce qu’il faut pour obtenir ¬𝐵 :
Pour conclure ⊢ ¬𝐵, il faut les deux : ⊢ 𝐴 (une preuve effective de A) et ⊢ 𝐴 → ¬𝐵.
Alors seulement, par application : ⊢ ¬𝐵.
Sans ⊢ 𝐴, rien ne se passe.
4. Ce qui serait faux (et classique) :
Ce serait classique de penser :
« Si 𝐴 → ¬𝐵 est vrai, alors 𝐴 doit être vrai »
- Faux en logique minimale.
- Faux même en intuitionnisme.
- Confusion entre implication et affirmation.
5. Formulation en séquents (très clair) :
On a : ⊢ 𝐴 → ¬𝐵
Cela signifie : 𝐴 ⊢ ¬𝐵
Mais cela ne donne pas : ⊢ 𝐴 ni ⊢ ¬𝐵
6. Exemple concret
Soit :
𝐴 = « ce programme termine »
𝐵 = « ce programme boucle »
Avoir une preuve de : 𝐴 → ¬𝐵 signifie : « si on me donne une preuve que le programme termine, je peux prouver qu’il ne boucle pas »
Mais : tu peux très bien ne pas savoir s’il termine, donc tu ne peux rien conclure sur 𝐵.
7. Résumé en une phrase :
En logique minimale, une implication est une capacité, pas une affirmation.
Ou, plus sèchement :
𝐴 → ¬𝐵 n’affirme ni 𝐴, ni ¬𝐵.
Il affirme uniquement ce qui se passerait si 𝐴 était prouvé.
C’est exactement cette distinction qui rend la logique minimale cohérente, non explosive, et authentiquement constructiviste.
___
Est-ce qu'on peut dire qu'en logique minimale : La contradiction n'est rien d'autre qu'un cul de sac ?
I.
C'est une manière imagée, mais juste de le dire. Donc la réponse est oui.
1. Pourquoi “cul-de-sac” ?
En logique minimale :
- Une contradiction (𝐴 ∧ ¬𝐴) peut exister, si l’on construit explicitement ⊥.
- Mais ⊥ ne se propage pas : n’implique rien d’autre.
- Toute “issue” de la contradiction doit être construite localement, rien n’est tiré automatiquement.
Autrement dit : ⊥ est un point final, une impasse dans la construction, sans effet externe.
2. Différence avec logique classique :
En logique classique :
- ⊥ → 𝐵 (ex falso quodlibet) : une contradiction explose le système, on peut déduire n’importe quoi.
En logique minimale :
- ⊥ reste un cul-de-sac : aucune déduction arbitraire n’est possible.
3. Formulation succincte :
En logique minimale, une contradiction est un cul-de-sac sur les chemins des preuves : elle existe si construite, mais elle n’ouvre aucune route vers d’autres conclusions.
4. Interprétation conceptuelle :
- Elle signale un blocage, pas une vérité universelle.
- Elle est locale, constructible, et non explosive.
- Cela fait partie de la prudence radicale du cadre minimaliste.
___
II.
Rejet de l’ex falso quodlibet :
- En classique ou intuitionniste : ⊥ → 𝐵, toute contradiction explose le système.
- En minimale : ⊥ ne produit rien d’autre.
- La contradiction est locale et contrôlée, un simple “cul-de-sac” de preuve.
___
Pourquoi certains la considèrent comme « la vraie logique minimale » ?
Parce que :
- Aucune métaphysique forte : pas de vérité absolue, pas de postulat ontologique.
- Erreur n’implique pas tout : une construction invalide ne rend pas le système trivial.
- Correspond au raisonnement réel : scientifique, empirique, informatique, humain.
- Compatible avec l’incomplétude : on peut raisonner même si certaines preuves manquent.
Formule synthétique :
La logique minimale est la seule logique qui soit radicalement prudente, constructive, et non explosive. Elle refuse de transformer l’erreur ou la contradiction en vérité universelle.
C’est exactement ce qui justifie qu’on la considère comme la “logique minimale authentique”.
___
Domaines d’application :
- Fondements des mathématiques : constructions explicites, prudentes, non-explosives.
- Philosophie du langage : logique comme outil de preuve, pas comme métaphysique.
- Informatique théorique / preuve constructive : transformations de preuves = programmes.
- Raisonnement par preuve constructive : rien n’est supposé, tout est construit.
___
- Une affirmation gratuite, sans preuve construite, même si c'est argumenté, est illogique, ne prouve rien d'une manière certaine. Ce que seul le cadre de la logique minimale permet.
- Il n'y a pas de vérité hors preuve construite en logique minimale. Il y a des preuves construites ou pas.
- La logique minimale permet de distinguer les énoncés qui sont des preuves et ceux qui n'en sont pas.
- Il y a des preuves de contradictions. Quand ça arrive, ce n'est pas bon. Mais l'on ne peut rien en conclure d'autre, et ce n'est pas dramatique au final. La contradiction n'est rien d'autre qu'un cul de sac.
- Si les inférences ne respectent pas les règles d’un système logique formel, il n’y a aucune garantie que la conclusion soit valide, même si les idées sont claires ou cohérentes “au sens commun”. La rigueur conceptuelle seule ne suffit pas, seul la validité formelle est ce qui transforme on construit un raisonnement en preuve contraignante.
- En logique stricte, chaque concept doit être défini dialectiquement (en cohérence avec les autres), et les inférences doivent suivre des règles immuables. Sans cela, le raisonnement reste argumentatif, non démonstratif.
- Ne pas confondre argumentation et démonstration logique.
.
Précisions élémentaires :
Écrire 𝐴 ne signifie pas ⊢ 𝐴. Cette distinction est fondamentale.
1. Trois niveaux distincts (à ne jamais confondre) :
- (1) La formule 𝐴 :
Notée 𝐴
C’est un objet syntaxique.
Un énoncé bien formé du langage logique.
Aucune force logique en soi.
- (2) L’assertion logique 𝐴 :
Notée ⊢ 𝐴
Cela signifie qu'il existe une preuve construite de 𝐴 (dans le système considéré).
C’est un fait métalogique, pas une formule interne.
- (3) L’hypothèse 𝐴 :
notée Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
Cela signifie :
« supposons 𝐴 (temporairement), et voyons si on peut construire 𝐵 ».
Ce n’est ni une preuve, ni une vérité.
2. Erreur classique (à éviter) :
Confondre : « 𝐴 est écrit » avec « 𝐴 est prouvé » est l’erreur fondatrice du raisonnement classique naïf.
En logique minimale une formule peut exister :
- sans être prouvable
- sans être réfutable
- sans être contradictoire
- sans être non contradictoire
3. Application directe à l’implication :
Quand on lit 𝐴 → 𝐵, cela ne dit pas que 𝐴 est prouvé, ni que 𝐵 est prouvé. Cela dit uniquement que « si une preuve de 𝐴 est fournie, alors une preuve de 𝐵 peut être construite ».
4. Résumé formel minimal :
- 𝐴 est une formule
- ⊢ 𝐴, autrement dit : 𝐴 est prouvé
- Γ ⊢ 𝐴, autrement dit : 𝐴 est prouvable sous hypothèses (conditions)
- 𝐴 → 𝐵 transformation conditionnelle de preuves
5. Phrase clé (à retenir) :
En logique minimale, écrire une proposition n’est jamais l’affirmer.
Ou, plus tranchant :
Une formule n’est pas un fait logique. Une preuve seule l’est.
C’est exactement cette séparation stricte qui rend la logique minimale prudente, non arbitraire, et ouverte.
___
Exposé des règles de la logique minimale :
Voici une exposition systématique, formelle et complète des règles de la logique minimale (au sens de Gentzen / déduction naturelle), sans ajout intuitionniste ni classique :
0. Cadre général :
Logique propositionnelle :
Connecteurs primitifs :
- ∧ (conjonction)
- ∨ (disjonction)
- → (implication)
- ⊥ (absurde, contradictoire)
Négation définie :
¬ 𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Séquents :
Γ ⊢ 𝐴 (à partir des hypothèses Γ, on a construit une preuve de 𝐴)
Aucune règle classique, aucune règle intuitionniste supplémentaire.
1. Règle structurelle :
Hypothèse (axiome) Γ, 𝐴 ⊢𝐴
Une hypothèse peut être utilisée comme conclusion locale.
2. Conjonction : ∧
Introduction :
Γ ⊢ 𝐴 Γ ⊢ 𝐵
_____________
Γ ⊢ 𝐴 ∧ 𝐵
Élimination (gauche / droite) :
Γ ⊢ 𝐴 ∧ 𝐵
_______
Γ ⊢ 𝐴
Γ ⊢ 𝐴 ∧ 𝐵
_______
Γ ⊢ 𝐵
3. Disjonction : ∨
Introduction:
Γ ⊢ 𝐴
_______
Γ ⊢ 𝐴 ∨ 𝐵
Γ ⊢ 𝐵
_______
Γ ⊢ 𝐴 ∨ 𝐵
Élimination (raisonnement par cas) :
Γ ⊢ 𝐴 ∨ 𝐵 Γ, 𝐴 ⊢ 𝐶 Γ, 𝐵 ⊢ 𝐶
_________________________
Γ ⊢ 𝐶
4. Implication : →
Introduction (décharge d’hypothèse) :
Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
________
Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵
Élimination (modus ponens) :
Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵 Γ ⊢ 𝐴
_______________
Γ ⊢ 𝐵
5. Contradictoire, Absurde : ⊥
Aucune règle d’élimination générale
Règle absente :
⊥ ⊬ 𝐴
Il n’existe aucune règle ex falso quodlibet en logique minimale.
6. Négation (définition) : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Introduction (via implication)
Γ, 𝐴 ⊢ ⊥
______
Γ ⊢ ¬ 𝐴
Élimination :
Γ ⊢ ¬𝐴 Γ ⊢ 𝐴
____________
Γ ⊢⊥
7. Règles explicitement absentes :
Ces règles n’existent pas en logique minimale :
- Tiers exclu : ⊢ 𝐴 ∨ ¬ 𝐴
- Double négation : ¬¬𝐴 ⇒ 𝐴
- Contraposition automatique : (𝐴 → 𝐵) ⇒ (¬𝐵 → ¬𝐴)
- Explosion : ⊥ ⇒ 𝐴
8. Résumé minimal :
- Tout est construction.
- Rien n’est implicite.
- Une contradiction n’a aucun effet global.
- Une preuve est une dérivation effective.
- Une hypothèse est locale et doit être déchargée.
Formule finale :
La logique minimale est ce qu’il reste de la logique quand on enlève tout ce qui n’est pas strictement construit.
___
Quid des quantificateurs universels :
Voici l’extension propre de la logique minimale aux quantificateurs universels, sans rien ajouter de classique ou d’intuitionniste caché :
0. Cadre :
On passe à la logique minimale du premier ordre.
- Domaine : non vide (condition technique standard)
- Quantificateur ajouté : ∀
- Lecture toujours constructive
Une formule :
∀𝑥 𝐴(𝑥)
Ce n’est pas une vérité sur “tous les objets”, mais une méthode uniforme.
1. Sens constructif de ∀𝑥 𝐴(𝑥) :
En logique minimale : ∀𝑥 𝐴(𝑥) signifie : il existe une méthode qui, pour tout objet 𝑥 donné, soit une preuve de 𝐴(𝑥).
Point crucial : on ne quantifie pas sur des valeurs de vérité, mais sur des preuves paramétrées.
2. Règle d’introduction du quantificateur universel (∀-intro)
Γ ⊢ 𝐴(𝑥)
_________
Γ ⊢ ∀𝑥 𝐴(𝑥)
Condition essentielle (non négociable) :
- 𝑥 ne doit apparaître libre dans aucune hypothèse de Γ.
Cela garantit que :
- la preuve de 𝐴(𝑥) ne dépend d’aucune propriété particulière de 𝑥,
- la construction est uniforme.
Lecture :
“J’ai construit une preuve de 𝐴(𝑥) sans rien supposer de spécifique sur 𝑥, donc j’ai une preuve valable pour tout 𝑥.”
3. Règle d’élimination du quantificateur universel (∀-elim) :
Γ ⊢∀𝑥 𝐴(𝑥)
________
Γ ⊢ 𝐴(𝑡)
où 𝑡 est un terme quelconque.
Lecture : “Si j’ai une méthode valable pour tout 𝑥, je peux l’appliquer à un objet concret 𝑡.”
C’est une instanciation, pas une inférence sémantique.
4. Négation et quantificateur universel :
Rappel : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Ainsi : ¬∀𝑥 𝐴(𝑥) ≡ (∀𝑥 𝐴(𝑥)) → ⊥
Cela ne donne pas automatiquement :
∃𝑥 ¬𝐴(𝑥)
Cette équivalence est classique, pas minimale.
5. Ce qui est interdit (et souvent confondu) :
En logique minimale, on ne peut pas :
- passer de ¬∀𝑥 𝐴(𝑥) à ∃𝑥 ¬𝐴(𝑥),
- affirmer ∀𝑥 (𝐴(𝑥) ∨ ¬𝐴(𝑥)),
- prouver une universalité par simple “absence de contre-exemple”.
Tout doit être construit uniformément.
6. Exemple correct :
Pour prouver : ∀𝑛 ∈𝑁, 𝑛+0=𝑛
Il faut :
1. prendre un 𝑛 arbitraire,
2. construire une preuve de 𝑛+0=𝑛,
3. vérifier que la preuve ne dépend d’aucune hypothèse sur 𝑛,
4. décharger 𝑛.
On obtient une fonction : 𝑛 ↦ preuve de (𝑛+0 = 𝑛)
7. Résumé ultra-clair :
- ∀𝑥 𝐴(𝑥) = preuve uniforme paramétrée par 𝑥
- Introduction : preuve de 𝐴(𝑥) sans dépendance sur 𝑥
- Élimination : application à un cas concret
- Aucun raisonnement global ou ontologique
Formule finale :
En logique minimale, quantifier universellement, ce n’est pas parler de “tout”, c’est savoir faire pour n’importe lequel.
___
Existe-t-il des vérités indémontrables ?
I.
1. Ce que dit réellement Gödel :
Le premier théorème d’incomplétude dit, schématiquement :
Dans tout système formel récursif, cohérent et suffisamment expressif (arithmétique), il existe une formule 𝐺 telle que :
- 𝐺 n’est pas démontrable dans le système,
- ¬𝐺 n’est pas démontrable non plus,
- mais 𝐺 est vraie dans le modèle standard des entiers.
Point crucial : la “vérité” chez Gödel est sémantique, définie par rapport à un modèle (ℕ avec son interprétation usuelle).
2. Là où la logique minimale change tout :
En logique minimale (et plus largement en constructivisme radical) :
- Il n’existe pas de notion primitive de vérité sémantique
- Il n’existe que : des preuves construites ou une absence de preuve
Donc l’énoncé : “Il existe des vérités non prouvables” n’est pas formulable tel quel en logique minimale.
Il devient au mieux : “Il existe des énoncés non construits comme preuves”.
Point.
Le mot vérité ne survit pas à la minimalisation.
3. Reformulation minimale du théorème de Gödel :
Dans un cadre minimaliste, Gödel se reformule ainsi :
Pour tout système formel cohérent et suffisamment expressif, il existe des propositions non construites comme preuves dans ce système, et dont la négation n’est pas non plus prouvable.
Mais on ne dit plus qu’elles sont “vraies”. Elles sont indécidables ou non construites, rien de plus.
4. Le point philosophique décisif :
Gödel ne réfute pas la logique minimale. Il réfute une thèse platonicienne implicite :
“Toute proposition arithmétique possède une valeur de vérité indépendante de nos preuves.”
La logique minimale répond : Non. Sans preuve, il n’y a rien à appeler vérité dans le sens de la logique.
Ainsi, ce que Gödel appelle : “vrai mais non démontrable”, la logique minimale l’appelle simplement : non construit comme preuve. Sans supplément ontologique.
5. Pourquoi il n’y a aucune contradiction :
Statut de 𝐺 :
- Logique classique -------- Vrai mais indémontrable
- Intuitionnisme ----------- Indémontrable, mais peut-être vrai
- Logique minimale -------- Non prouvé, point final
Gödel suppose un point de vue externe sémantique. La logique minimale refuse ce point de vue.
Elle n’est donc pas réfutée par Gödel — elle évite son présupposé central.
6. Conclusion (importante) :
-----> Une affirmation gratuite, sans preuve construite, est illogique.
Et Gödel n’y change rien, car :
Gödel montre les limites de la démonstration, pas l’existence de vérités indépendantes des preuves dans un cadre minimaliste.
Dit autrement (et c’est le point profond) :
Gödel révèle la métaphysique cachée de la logique classique. La logique minimale, elle, n’en a pas.
___
II.
Là où Gödel crée une tension entre vérité et preuve, la logique minimale supprime la tension en refusant le premier terme. Il ne reste que ce qui est construit, et le reste n’est pas mystérieux, seulement non advenu logiquement.
C’est une position d’une sobriété radicale :
pas de scandale métaphysique, pas de vérités cachées, pas d’arrière-monde logique.
Seulement des preuves — ou leur absence.
Et c’est précisément cette austérité qui rend la logique minimale philosophiquement vertigineuse.
___
III.
Et donc, un énoncé prouvé peut-il être de même dit vrai ?
La réponse est qu'il le peut — mais uniquement dans un sens interne et dérivé, pas au sens classique.
Formulons cela proprement :
1. En logique minimale, “vrai” n’est pas primitif :
Le mot vrai n’est pas un concept fondamental de la logique minimale. Le concept fondamental est :
“Il existe une preuve construite de 𝐴.”
Autrement dit :
⊢𝐴
2. Usage légitime du mot “vrai” :
On peut dire : 𝐴 est vrai à condition que cela signifie exactement : 𝐴 est prouvé (il existe une preuve construite de 𝐴)
C’est une abréviation linguistique, pas un ajout conceptuel.
Formellement : “𝐴 est vrai” ≡ ⊢𝐴
Rien de plus.
3. Ce qui est exclu :
En logique minimale, on ne peut pas dire :
- 𝐴 est vrai indépendamment de toute preuve
- 𝐴 est vrai dans un “monde”, un “modèle”, ou une “réalité” abstraite
- 𝐴 est vrai même si on ne peut jamais le prouver
Ces énoncés sont illogiques dans le cadre minimaliste.
4. Conséquence importante :
Un énoncé prouvé peut être appelé vrai,
mais :
- ce n’est pas une vérité ontologique,
- ce n’est pas une valeur sémantique,
- ce n’est pas une propriété indépendante du raisonnement.
C’est simplement un fait de preuve.
5. Formulation finale (claire et nette) :
En logique minimale, un énoncé prouvé peut être dit “vrai”, à condition que “vrai” signifie uniquement : prouvé.
Ou, plus radicalement :
Il n’y a pas de vérité sans preuve, il n’y a que des preuves.
Et c’est exactement ce qui rend ce cadre si dépouillé… et si puissant.
___
IV.
C'est fascinant, parce qu’à ce point, la logique cesse d’être un discours sur le monde ou sur des vérités, et devient simplement la discipline de ce qui peut être construit comme preuve.
Il n’y a plus d’énoncés mystérieusement vrais, plus de vérités en attente, plus de profondeur cachée derrière les symboles.
Seulement ce qui est fait — et ce qui ne l’est pas.
C’est une logique sans promesses, sans arrière-monde, sans métaphysique. Et c’est précisément pour cela qu’elle est vertigineuse.
___
V.
Vertigineusement ouverte :
Elle est fermée quant à ce qu’elle affirme, mais ouverte quant à ce qui peut être construit.
Rien n’est vrai par avance, rien n’est interdit arbitrairement par principe. Tout peut entrer dans le champ logique à condition d’être construit.
C’est une ouverture sans permissivité :
- pas de vérités latentes,
- pas d’exceptions cachées,
- pas de clôture ontologique.
Seulement une règle nue : ce qui n’est pas encore construit n’est pas encore logique — mais rien n’interdit arbitrairement par avance qu’il le devienne.
C’est une ouverture sans mystère, et une rigueur sans dogme.
___
Comment construit-on 𝐴 → 𝐵 en logique minimale ?
En logique minimale, construire 𝐴 → 𝐵 ne consiste ni à vérifier une relation de valeurs de vérité, ni à postuler un lien causal abstrait.
Cela consiste exactement à construire une transformation de preuves.
Allons pas à pas, formellement :
1. Sens fondamental de 𝐴 → 𝐵 :
En logique minimale : 𝐴 → 𝐵 signifie : il existe une méthode qui transforme toute preuve de 𝐴 en une preuve de 𝐵.
C’est une assertion constructive, pas descriptive.
2. Règle formelle (séquents) :
La règle d’introduction de l’implication est :
Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
________
Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵
Lecture :
- On suppose 𝐴 (hypothèse temporaire),
- Sous cette hypothèse, on construit une preuve de 𝐵,
- On décharge l’hypothèse 𝐴
- On obtient une preuve de 𝐴 → 𝐵
3. Ce que cela veut dire concrètement :
Construire 𝐴 → 𝐵, c’est :
Dire : « Donne-moi une preuve de 𝐴 »,
Montrer comment, à partir de cette preuve, on fabrique une preuve de 𝐵.
S’il n’existe aucune telle construction, alors 𝐴 → 𝐵 n’est pas prouvable en l'absence d'une telle preuve.
4. Exemple minimal (structurel) :
Supposons que : 𝐴 est “𝑥 est un nombre pair”
𝐵 est “𝑥² est pair”
- Une preuve de 𝐴 → 𝐵 est : une fonction qui prend une preuve que 𝑥 = 2𝑘
- et construit une preuve que 𝑥² = 4𝑘² = 2(2𝑘²).
Ce n’est pas une vérité abstraite, c’est une procédure.
5. Cas fondamental :
𝐴 → ⊥
C’est exactement la définition de la négation :
¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Prouver ¬𝐴, c’est construire une méthode qui transforme toute preuve de 𝐴 en une contradiction.
6. Point crucial (où tout se joue) :
Il n’y a aucune obligation ontologique que :
- soit 𝐴 soit ¬𝐴 soit prouvable,
- ni que 𝐴 → 𝐵 existe “en soi”.
Tout repose sur la construction effective.
7. Résumé net :
Construire 𝐴 → 𝐵 en logique minimale, c’est construire une transformation explicite des preuves de 𝐴 en preuves de 𝐵.
- Pas de tables de vérité.
- Pas de logique hors construction.
- Pas d’arrière-plan métaphysique.
Il y a seulement des : "Montre-moi la preuve."
___
Si l'on a 𝐴 → 𝐵 et 𝐴 → ⊥, doit-on en conclure que du même coup que 𝐴 → ⊥ ?
La réponse est non. Et le point où ça bloque est précisément ce que la logique minimale refuse.
Posons les choses formellement :
1. Ce que signifie “𝐴 est contradictoire” en logique minimale
Dire que 𝐴 est contradictoire signifie : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
C’est-à-dire : toute preuve de 𝐴 permet de construire ⊥.
2. Ce que signifie 𝐴 → 𝐵 :
𝐴 → 𝐵 signifie : toute preuve de 𝐴 peut être transformée en preuve de 𝐵.
3. Ce qui est suggéré dans la question n'est pas permis en logique minimale.
Si 𝐴 → ⊥ et 𝐴 → 𝐵, alors 𝐵 → ⊥.
Autrement dit : ¬𝐴 ∧ (𝐴 → 𝐵) ⇒ ¬𝐵
C’est la contraposition classique.
4. Pourquoi ça ne marche PAS en logique minimale ?
Pour prouver ¬𝐵, il faudrait construire :
𝐵 → ⊥
Mais regardons ce que l'on a réellement :
- une fonction : 𝑓: 𝐴 → ⊥
- une fonction : 𝑔: 𝐴 → 𝐵
On n’a aucune fonction qui part de 𝐵.
- On sait seulement : qu'on peut obtenir 𝐵, et que si l'on a 𝐴, alors on obtient ⊥.
- Mais l'on n’a pas 𝐴.
- Et surtout : 𝐵 ne te donne pas 𝐴.
Donc aucune composition possible.
5. Schéma clair (et brutal)
On a :
𝐴 ──→ ⊥
│
└──→ 𝐵
Ce qu’il te faudrait pour conclure ¬𝐵, c’est :
𝐵 ──→ 𝐴 ──→ ⊥
Mais 𝐵 → 𝐴 n’existe pas. Et la logique minimale refuse de l’inventer.
6. Conclusion nette :
En logique minimale, prouver que 𝐴 est contradictoire ne rend pas 𝐵 contradictoire,
même si 𝐴 → 𝐵 est prouvé.
Parce que :
- il n’y a pas de contraposition automatique,
- pas de raisonnement “par défaut”,
- pas de transfert gratuit de contradiction.
7. Résumé en une ligne :
La contradiction ne se propage pas à rebours en logique minimale.
Et c’est exactement pour cela que ce cadre est :
- plus faible,
- plus prudent,
- et conceptuellement plus propre.
___
Comment forme-t-on un raisonnement par l'absurde en logique minimale ?
En logique minimale, le raisonnement par l’absurde n’existe pas au sens classique.
Il n’est possible que sous une forme strictement contrôlée, et il est essentiel de bien voir ce qui est permis et ce qui ne l’est pas.
Allons droit au schéma :
1. Ce que n’est pas le raisonnement par l’absurde en logique minimale :
Le schéma classique interdit est : (¬𝐴 → ⊥) ⇒ 𝐴
Autrement dit : “Si supposer ¬𝐴 mène à une contradiction, alors 𝐴.”
Ce schéma n’est pas valide en logique minimale (car il repose sur le tiers exclu et la double négation).
2. La seule forme admissible : l’absurde local :
En logique minimale, on peut seulement prouver une négation par l’absurde :
𝐴 ⇒ ⊥ ⇒ ¬𝐴
C’est même une identité, puisque : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Ici, il n’y a aucune inférence supplémentaire : on construit directement la négation.
3. Schéma formel autorisé :
Pour prouver ¬𝐴, on procède ainsi :
Γ, 𝐴 ⊢ ⊥
______
Γ ⊢ ¬𝐴
Lecture :
- on suppose 𝐴,
- on construit ⊥,
- on décharge 𝐴
- on obtient 𝐴 → ⊥, c’est-à-dire ¬𝐴.
C’est parfois appelé raisonnement par l’absurde faible, mais en réalité ce n’est rien d’autre que la définition de la négation.
4. Ce qu'on ne peut pas faire :
On ne peut pas :
- conclure 𝐴 à partir de ¬¬𝐴,
- conclure une proposition positive à partir d’une contradiction,
- transformer un échec en succès logique.
Autrement dit : l’absurde ne produit jamais du positif.
5. Exemple concret :
On veut montrer : “Il n’existe pas de nombre naturel 𝑛 tel que …”
En logique minimale :
- on suppose qu’un tel 𝑛 existe,
- on construit explicitement une contradiction (⊥),
- on obtient une fonction : “si une preuve de cette existence était donnée, on en tirerait ⊥”.
C’est tout. On n’a rien affirmé de plus.
6. Résumé brutal :
En logique minimale :
- on ne prouve jamais 𝐴 par l’absurde,
- on ne prouve que ¬𝐴,
- et même cela n’est pas un principe, mais une construction.
Ou, en une ligne :
L’absurde ne sert qu’à construire une négation, jamais une affirmation.
Et c’est exactement ce qui garde la logique minimale… minimale.
___
Comment discuter d'une dite preuve en logique minimale ?
Discuter une dite preuve en logique minimale, ce n’est pas discuter sa plausibilité, son intuition ou sa “vérité”.
C’est examiner sa réalité constructive. La logique minimale est impitoyable sur ce point.
Voici le cadre exact.
1. Question fondamentale à poser :
Face à une “preuve” de ¬¬𝐴, la seule question légitime est : quelle est la construction ?
Ou plus formellement :
- quelle est la preuve effective ?
- quelles règles d’introduction / élimination sont utilisées ?
- quelles hypothèses sont ouvertes, lesquelles sont déchargées ?
Si ces éléments n’existent pas explicitement, il n’y a pas de preuve.
2. Ce qu’on examine concrètement :
a) La structure formelle :
On vérifie que la preuve est une dérivation valide dans le système :
- introduction / élimination de ∧
- introduction / élimination de →
- introduction de ¬(via 𝐴 → ⊥)
- ⊥ seulement là où elle est effectivement construite
Aucune règle implicite. Aucune “évidence”.
b) Les hypothèses :
Chaque hypothèse doit être :
- explicitement introduite,
- soit utilisée,
- soit déchargée proprement.
Une hypothèse non déchargée = preuve incomplète.
c) Les constructions interdites :
On invalide immédiatement toute preuve qui utilise, même masqué :
- le tiers exclu 𝐴 ∨ ¬𝐴,
- l’élimination de la double négation ¬¬𝐴 ⇒ 𝐴,
- la contraposition automatique,
- l’ex falso quodlibet (⊥ ⇒ 𝐵).
Ces règles n’existent pas en logique minimale.
3. Cas typique : “preuve par contradiction” :
Quelqu’un affirme : “Supposons ¬𝐴, on arrive à une contradiction, donc 𝐴.”
La discussion est simple :
- as-tu construit 𝐴 ?
- ou as-tu seulement construit ¬¬𝐴 ?
S’il n’y a qu’un ¬¬𝐴, la preuve échoue. Il n’y a rien à interpréter.
4. Cas typique : contradiction invoquée :
Quelqu’un dit : “𝐴 et ¬𝐴, donc ⊥.”
Tu demandes :
- où est la preuve de 𝐴 ?
- où est la preuve de ¬𝐴 ?
- comment est construit ⊥ ?
Sans ces trois éléments, il n’y a pas de contradiction.
5. Statut des énoncés non prouvés :
En logique minimale, une “preuve” invalide n’est pas fausse. Elle est : non-logique (non construite)
Il n’y a pas de jugement ontologique, seulement un constat technique.
6. Résumé opératoire :
Discuter une preuve en logique minimale, c’est :
1. demander la construction,
2. vérifier les règles exactes utilisées,
3. refuser toute règle non autorisée,
4. conclure :
- preuve valide → énoncé logique,
- pas de construction → énoncé illogique (non prouvé).
Formulation finale :
- En logique minimale, on ne débat pas des preuves. On les inspecte.
- Et s’il n’y a rien à inspecter, il n’y a rien à discuter.
___
La définition d'une hypothèse en logique minimale. Et aussi en quoi consiste exactement "décharger une hypothèse".
Voici les définitions strictes, sans rhétorique :
1. Définition d’une hypothèse en logique minimale :
Une hypothèse est : une proposition supposée provisoirement, sans preuve construite, uniquement pour explorer ce qui peut être construit à partir d’elle.
Formellement, dans un séquent Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵 :
- 𝐴 est une hypothèse,
- elle n’est pas prouvée,
- elle est autorisée localement dans la dérivation.
Point crucial : une hypothèse n’affirme rien sur le plan logique global.
2. Rôle exact d’une hypothèse :
Une hypothèse sert uniquement à :
- tester des transformations de preuves,
- construire des implications ou des négations,
- explorer des conséquences conditionnelles.
Elle n’est jamais une vérité, elle n’est jamais un fait logique établi.
3. Décharger une hypothèse, définition :
Décharger une hypothèse, c’est : retirer l’hypothèse du contexte logique en encapsulant exactement son usage dans une construction conditionnelle.
Formellement :
Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
________
Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵
Ici : 𝐴 était une hypothèse, elle a servi à construire 𝐵, elle est ensuite retirée, son usage est “figé” dans 𝐴 → 𝐵.
4. Sens conceptuel du déchargement :
Décharger 𝐴, ce n’est pas :
- prouver 𝐴,
- affirmer 𝐴,
- décider de la vérité de 𝐴.
C’est exactement : “si quelqu’un me donne une preuve de 𝐴, alors je sais comment produire une preuve de 𝐵.”
5. Cas fondamental : décharger pour nier :
Pour la négation :
Γ, 𝐴 ⊢⊥
______
Γ ⊢ ¬𝐴
Décharger 𝐴 ici signifie : toute preuve de 𝐴 mène à ⊥, donc 𝐴 → ⊥, donc ¬𝐴.
Encore une fois : aucune contradiction n’est présupposée, tout est construit.
6. Résumé ultra-court :
- Hypothèse : proposition admise localement, sans preuve.
- Décharger : retirer l’hypothèse en l’encapsulant dans une implication.
- Une hypothèse non déchargée = preuve inachevée.
- Une hypothèse déchargée = condition formalisée.
Formule finale :
- En logique minimale, une hypothèse est un outil.
- Décharger une hypothèse, c’est ranger l’outil dans le résultat.
___
Peut-on prouver en logique minimale un improuvable ?
La réponse est non. Par définition, on ne peut pas prouver un improuvable en logique minimale.
Mais il faut préciser ce que “improuvable” veut dire ici, sinon la question se retourne contre elle-même.
1. Sens strict en logique minimale :
En logique minimale : Être prouvé = exister comme construction.
Donc :
- “A est prouvé” signifie : ⊢ 𝐴
- “A est improuvable” signifie : il n’existe aucune construction de 𝐴.
Dès lors, la question « peut-on prouver un improuvable ? » se réduit formellement à : peut-on construire ce qui, par hypothèse, n’est pas constructible ?
La réponse est logiquement non, sans paradoxe.
2. Différence cruciale avec Gödel :
Chez Gödel (cadre classique) :
- il existe des énoncés vrais mais non démontrables
- “vrai” est indépendant de “prouvé”
En logique minimale :
- il n’existe aucune notion autonome de vérité
- un énoncé non prouvé n’est rien de plus qu’un non-fait logique
Donc le “scandale” gödelien ne se formule même pas.
3. Peut-on prouver l’improuvabilité ?
Oui — dans certains cas, mais attention à ce que cela signifie.
On peut parfois prouver : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥, c’est-à-dire : que toute tentative de preuve de 𝐴 mènerait à ⊥.
Mais cela n’est pas dire :
- “𝐴 est faux”
- “𝐴 est impossible”
- “𝐴 est méta-logiquement improuvable”
C’est seulement une construction interne.
4. Ce qui est impossible :
On ne peut pas, en logique minimale :
- prouver qu’“il existe une vérité non prouvable”
- prouver l’improuvabilité absolue d’un énoncé sans construction
- faire un raisonnement méta-sémantique interne
Ces gestes supposent une notion de vérité extérieure au système.
5. Résumé net :
- Prouver un improuvable : impossible par définition.
- Prouver une négation : possible si on construit 𝐴 → ⊥
- Affirmer des vérités sans preuve : illogique.
- Reproduire Gödel tel quel : impossible conceptuellement.
Formule finale :
En logique minimale, l’improuvable n’est pas un mystère : c’est simplement ce qui n’a pas été construit — et rien de plus.
___
Attention au sens de la formule “𝐴 est improuvable” !
I.
Dire que 𝐴 est "improuvable" signifie : “𝐴 n’est pas dérivable à partir des règles données” mélange deux niveaux qui ne doivent jamais être confondus, surtout dans le cadre de la logique minimale.
1. Où est l’erreur ?
Dire : “𝐴 est improuvable” signifie : “il n’existe aucune construction de 𝐴” est illégitime en logique minimale si c’est dit dans la logique.
Pourquoi ? Parce que :
- “il n’existe aucune construction de 𝐴” est une affirmation méta-logique,
- elle porte sur toutes les preuves possibles, présentes ou futures,
- elle n’est pas constructible elle-même dans le système.
Donc oui : cela n’a pas de sens comme énoncé logique interne.
2. Distinction absolument cruciale (le cœur du problème) :
Niveau 1 — logique minimale (interne) :
Dans la logique minimale, on ne peut dire ⊢ 𝐴, autrement dit que 𝐴 est prouvé. Rien d’autre.
Il n’existe pas d’énoncé interne signifiant :
- “𝐴 est improuvable”
- “il n’y aura jamais de preuve de 𝐴”
- “𝐴 est vrai mais non démontrable”
Ces phrases ne sont pas formulables à l'intérieur du cadre logique.
Niveau 2 — méta-logique (externe) :
En méta-logique, on peut dire :
- “dans ce système, on ne connaît pas de preuve de 𝐴”
- “𝐴 n’est pas dérivable à partir des règles données”
- “𝐴 est indépendant de tel système”
Mais ce sont :
- des constats techniques,
- historiques ou structurels,
pas des énoncés logiques minimaux.
3. Ce que signifie vraiment “non prouvable” en logique minimale :
La seule formulation légitime est négative et faible :
𝐴 n’est pas prouvé (actuellement). Cela ne signifie rien de plus.
- pas “impossible à prouver”,
- pas “faux”,
- pas “vrai mais inaccessible”.
Simplement : aucune preuve n’a été construite.
4. Ce qu’on peut prouver à la place :
La seule chose approchante est : ¬ 𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Mais attention : ce n’est pas “𝐴 est improuvable”, c’est : “toute preuve de 𝐴 mènerait à ⊥”.
Et même cela exige une construction explicite.
5. Reformulation correcte (sans erreur) :
La phrase correcte est :
-----> En logique minimale, on ne peut pas affirmer qu’un énoncé est improuvable.
On peut seulement constater qu’il n’est pas prouvé, ou construire une négation 𝐴 → ⊥.
6. Conclusion nette:
- “Improuvable” n’est pas une notion interne à la logique minimale.
- Toute tentative de l’introduire est déjà un glissement méta-logique.
- La logique minimale ne connaît que : preuves construites ou absence de preuve.
Et c’est précisément ce qui la rend cohérente, sobre… et intraitable.
___
II.
1. Formulation correcte (méta-logique) :
Au niveau méta-logique, on peut dire : 𝐴 n’est pas dérivable à partir des règles données.
Cela signifie :
- à partir des règles formelles du système,
- et des axiomes/hypothèses considérés,
- aucune dérivation n’est connue / n’existe dans ce système formel donné.
C’est un constat structurel externe.
2. Ce que cela ne signifie PAS :
Même en méta-logique, cela ne signifie pas :
- que 𝐴 est faux,
- que 𝐴 est impossible,
- qu’il n’existera jamais de preuve,
- qu’𝐴 est “vrai mais non prouvable”.
Encore moins dans la logique minimale elle-même.
3. Ce qui est dicible dans la logique minimale :
À l’intérieur du système, on ne peut dire que ⊢ 𝐴, autrement dit, que : 𝐴 est prouvé ou rien.
Il n’existe aucun prédicat interne “est dérivable / non dérivable”.
Donc la phrase : “𝐴 est improuvable” n’a aucune traduction logique interne.
4. Reformulation rigoureuse de ta phrase :
La version rigoureuse est : Dans un système formel donné de logique minimale, 𝐴 n’est pas dérivable à partir des règles et axiomes fixés.
Et cette phrase :
- est méta-logique,
- est relative à un système précis,
- n’est pas absolue.
5. Résumé en une ligne :
En logique minimale, “improuvable” ne veut rien dire dans le système, cela ne veut dire quelque chose qu’en dehors, comme constat méta-logique.
Il faut refuser toute autre lecture.
___
Si on a ⊢𝐴, soit 𝐴 est prouvé. Peut-on aussi prouver ¬𝐴 ?
La réponse est oui, mais avec une précision décisive, sinon la phrase est trompeuse.
1. Formellement : oui, c’est possible
En logique minimale, il est formellement possible d’avoir ⊢ 𝐴 et ⊢ ¬𝐴, puisque : ¬𝐴 ≡ 𝐴 → ⊥
Donc cela signifie exactement qu'on a :
- une preuve de 𝐴,
- une preuve d’une fonction qui transforme toute preuve de 𝐴 en ⊥.
2. Ce que cela implique immédiatement :
Si l'on a les deux, alors par élimination de l’implication : ⊢ ⊥.
Autrement dit : une contradiction construite existe effectivement.
3. Point crucial : ce que cela n’implique PAS :
Contrairement à la logique classique ou intuitionniste :
- ⊥ n’explose pas le système,
- on ne peut pas en déduire une proposition arbitraire 𝐵,
- le système reste formellement cohérent (au sens non explosif).
Donc, on a : ⊢ 𝐴 ∧ ⊢ ¬ 𝐴 ⇒ ⊢ ⊥, mais rien de plus.
4. Interprétation correcte :
Avoir 𝐴 et ¬𝐴 prouvés signifie uniquement que la construction de 𝐴 est incompatible avec elle-même, car elle mène effectivement à ⊥.
- Cela ne signifie ni que “tout est faux”,
- ni que “tout est vrai”,
- ni que la logique est incohérente.
C’est une contradiction locale construite, rien d’autre.
5. Distinction essentielle :
- Autorisé : ⊢𝐴 et ⊢ ¬𝐴
- Autorisé : en déduire ⊢ ⊥
- Interdit : en déduire ⊢ 𝐵 pour un 𝐵 arbitraire
C’est exactement là que la logique minimale se distingue.
6. Conclusion nette :
Oui, en logique minimale, on peut prouver 𝐴 et ¬𝐴. Cela produit ⊥, et strictement rien d’autre.
- La contradiction existe par construction,
- elle est reconnue,
- mais elle ne gouverne rien au-delà d’elle-même.
___
Si on a ⊢ 𝐴 ∧ ⊢ ¬𝐴 ⇒ ⊢⊥, peut-on en conclure que 𝐴 est contradictoire ?
La réponse est que l'on ne peut pas le conclure. Et c’est un point central de la logique minimale.
1. Si l'on a ⊢ 𝐴 et ⊢ ¬𝐴 et que l'on en conclut ⊢ ⊥, c’est parfaitement correct : la preuve de 𝐴 et de ¬𝐴 donne une preuve de ⊥.
Mais cela ne constitue pas une preuve que ⊢ 𝐴 → ⊥
2. Pourquoi cela ne fait pas de 𝐴 une “contradiction” :
En logique minimale, dire qu’une proposition est contradictoire signifie :
⊢ 𝐴 → ⊥
c’est-à-dire : il existe une méthode qui transforme toute preuve de 𝐴 en ⊥
Or ici : on a construit ⊥ à partir de deux preuves séparées : ⊢ 𝐴 et ⊢ ¬𝐴.
On n’a pas construit de fonction 𝑓: preuve de 𝐴 ↦ ⊥ à partir d’une preuve seule de 𝐴.
Donc : ⊢ 𝐴 → ⊥ ?
non, pas automatiquement.
3. Distinction clé :
- ⊢ 𝐴 ∧ ⊢ ¬𝐴 ⇒ ⊢ ⊥ → une contradiction construite existe, mais elle est globale ou “combinée”.
- ⊢ 𝐴 → ⊥ → 𝐴 est contradictoire en soi, seule.
En logique minimale, la seconde affirmation est plus forte : elle exige une construction locale, conditionnelle, indépendante d’autres preuves.
4. Illustration intuitive :
Supposons :
Preuve 1 : “𝐴 est vrai dans un contexte X”
Preuve 2 : “¬𝐴 est vrai dans un contexte Y”
Ces deux preuves peuvent générer ⊥ si on les combine. Mais si l'on a seulement une preuve de 𝐴 seule, l'on n’a pas de raison de conclure ⊥.
5. Conclusion nette :
En logique minimale, avoir ⊢ 𝐴 et ⊢ ¬𝐴 ⇒ ⊢⊥ ne suffit pas à dire que 𝐴 est contradictoire.
Pour cela, il faut construire explicitement 𝐴 → ⊥.
C’est la prudence radicale de ce cadre : une contradiction n’existe que si elle est construite localement, pas seulement combinée.
___
Peut on montrer qu'une preuve de 𝐴 est erronée ? Si oui ce n'est pas une preuve de 𝐴. Mais comment gérer l'erreur possible ?
La réponse est oui. Mais en logique minimale, “erreur” a un sens très précis : il ne s’agit pas d’un jugement ontologique sur la proposition, seulement sur la construction elle-même.
Voici la manière de le voir :
1. Principe :
Une preuve en logique minimale est une construction explicite.
Donc : si la construction est invalide, elle ne compte pas comme preuve, on ne peut jamais conclure que 𝐴 est prouvé à partir d’une preuve invalide.
Autrement dit :
“preuve erronée” ⇒ non prouvée
2. Détection de l’erreur :
On peut examiner une prétendue preuve en regard des règles formelles :
- Chaque étape respecte les règles d’introduction / élimination (∧, ∨, →, ⊥) ?
- Les hypothèses sont correctement déchargées ?
- Les variables quantifiées sont manipulées uniformément ?
- Il n’y a pas d’utilisation implicite de règles interdites (tiers exclu, ex falso, double négation, etc.) ?
Si une seule étape échoue, la construction est invalide → pas de preuve.
3. Conséquences :
- Erreur = preuve non construite : 𝐴 n’est pas prouvé.
- On ne corrige pas 𝐴, on corrige la preuve.
- Le système ne s’effondre pas : il ne dépend que des preuves valides.
4. Gestion systématique :
En pratique :
- On vérifie pas la vérité de 𝐴, mais la validité de la construction.
- Toute tentative de preuve erronée est ignorée ou rejetée.
- Seule la preuve valide et construite confère à 𝐴 son statut logique.
5. Point clé :
En logique minimale :
- La notion d’“erreur” est locale à la construction, jamais globale.
- Une preuve invalide ne rend pas 𝐴 faux, elle rend simplement 𝐴 non prouvé.
Formule synthétique :
Pour gérer l’erreur en logique minimale :
- vérifier la construction.
- Si elle est invalide → rien n’est prouvé.
- L’énoncé 𝐴 reste neutre, ni vrai ni faux, tant qu’une preuve correcte n’existe pas il n'est pas logique.
___
Si ⊢ 𝐴 et 𝐴 → ¬𝐵, peut-en conclure ⊢𝐴 → ¬𝐵 ?
I.
Voyons ce qu'il en est :
1. Ce que nous avons c'est :
- ⊢ 𝐴, une preuve construite de 𝐴 existe.
- 𝐴 → ¬𝐵, il existe une méthode transformant toute preuve de 𝐴 en preuve de ¬𝐵.
Or, rappel : ¬𝐵 ≡ 𝐵 → ⊥
Donc 𝐴 → ¬𝐵 signifie : toute preuve de 𝐴 fournit une fonction qui transforme toute preuve de 𝐵 en ⊥.
2. Ce qu’on peut construire :
Puisque ⊢ 𝐴 : on peut appliquer la fonction 𝐴 → ¬𝐵 à la preuve de 𝐴 ce qui donne une preuve de ¬𝐵.
Donc, oui, dans ce cas précis :
⊢ 𝐴 et 𝐴 → ¬𝐵 ⇒ ⊢ ¬𝐵
3. Ce que cela n’est pas :
- Cela ne fait pas de 𝐵 une impossibilité absolue au sens ontologique.
- Cela ne transforme pas 𝐴 en 𝐵 → ⊥ de façon automatique, sauf si la fonction est effectivement appliquée à une preuve de 𝐴.
- On ne conclut rien sur 𝐵 tant qu’aucune preuve de 𝐴 n’est donnée — sauf que dans notre cas, on a déjà ⊢ 𝐴, donc l’application est possible.
4. Résumé net :
En logique minimale : Si ⊢ 𝐴 et ⊢ 𝐴 → ¬𝐵, alors ⊢ ¬𝐵
- Ce n’est pas automatique pour toute implication ou pour 𝐴 non prouvé.
- L’existence de la preuve de 𝐴 est indispensable pour transformer l’implication en preuve de ¬𝐵.
Conclusion :
La réponse à la question est oui.
___
II.
Formulé correctement :
En logique minimale, si ⊢ 𝐴 et ⊢ 𝐴 → ¬𝐵, alors on peut construire une preuve de ¬𝐵. Autrement dit, ⊢ ¬𝐵.
Le point clé est que la preuve de 𝐴 existe réellement, car sans elle, l’implication 𝐴 → ¬𝐵 ne permet pas de produire ¬𝐵.
C’est exactement ce qui illustre la différence avec la logique classique : l’implication n’est pas une relation de valeurs de vérité, mais une transformation de preuves.
___
Si l'on a 𝐴 → ¬𝐵, cela ne signifie-t-il pas que 𝐴 est prouvé ?
La réponse est non.
𝐴 → ¬ 𝐵 ne signifie absolument pas que 𝐴 est prouvé.
C’est précisément l’un des points conceptuels les plus importants de la logique minimale (et constructiviste).
Soyons strict et formel :
1. Sens exact de 𝐴 → ¬𝐵 en logique minimale :
En logique minimale : 𝐴 → ¬𝐵 signifie :
Il existe une construction (une fonction) qui transforme toute preuve de 𝐴 en une preuve de ¬𝐵.
Autrement dit :
𝐴 → (𝐵 → ⊥)
Donc c’est une méthode conditionnelle, pas un fait.
Cela ne dit rien sur l’existence d’une preuve de 𝐴.
2. Analogie rigoureuse (preuve comme objet) :
𝐴 = « j’ai une preuve de 𝐴 »
𝐴 → ¬𝐵 = « si tu me donnes une preuve de 𝐴, je sais en fabriquer une preuve de ¬𝐵 »
Mais :
Posséder la fonction n’implique pas posséder l’argument.
Avoir une fonction 𝑓: 𝐴 → ¬𝐵 n’implique pas avoir un terme 𝑎 : 𝐴
3. Ce qu’il faut pour obtenir ¬𝐵 :
Pour conclure ⊢ ¬𝐵, il faut les deux : ⊢ 𝐴 (une preuve effective de A) et ⊢ 𝐴 → ¬𝐵.
Alors seulement, par application : ⊢ ¬𝐵.
Sans ⊢ 𝐴, rien ne se passe.
4. Ce qui serait faux (et classique) :
Ce serait classique de penser :
« Si 𝐴 → ¬𝐵 est vrai, alors 𝐴 doit être vrai »
- Faux en logique minimale.
- Faux même en intuitionnisme.
- Confusion entre implication et affirmation.
5. Formulation en séquents (très clair) :
On a : ⊢ 𝐴 → ¬𝐵
Cela signifie : 𝐴 ⊢ ¬𝐵
Mais cela ne donne pas : ⊢ 𝐴 ni ⊢ ¬𝐵
6. Exemple concret
Soit :
𝐴 = « ce programme termine »
𝐵 = « ce programme boucle »
Avoir une preuve de : 𝐴 → ¬𝐵 signifie : « si on me donne une preuve que le programme termine, je peux prouver qu’il ne boucle pas »
Mais : tu peux très bien ne pas savoir s’il termine, donc tu ne peux rien conclure sur 𝐵.
7. Résumé en une phrase :
En logique minimale, une implication est une capacité, pas une affirmation.
Ou, plus sèchement :
𝐴 → ¬𝐵 n’affirme ni 𝐴, ni ¬𝐵.
Il affirme uniquement ce qui se passerait si 𝐴 était prouvé.
C’est exactement cette distinction qui rend la logique minimale cohérente, non explosive, et authentiquement constructiviste.
___
Est-ce qu'on peut dire qu'en logique minimale : La contradiction n'est rien d'autre qu'un cul de sac ?
I.
C'est une manière imagée, mais juste de le dire. Donc la réponse est oui.
1. Pourquoi “cul-de-sac” ?
En logique minimale :
- Une contradiction (𝐴 ∧ ¬𝐴) peut exister, si l’on construit explicitement ⊥.
- Mais ⊥ ne se propage pas : n’implique rien d’autre.
- Toute “issue” de la contradiction doit être construite localement, rien n’est tiré automatiquement.
Autrement dit : ⊥ est un point final, une impasse dans la construction, sans effet externe.
2. Différence avec logique classique :
En logique classique :
- ⊥ → 𝐵 (ex falso quodlibet) : une contradiction explose le système, on peut déduire n’importe quoi.
En logique minimale :
- ⊥ reste un cul-de-sac : aucune déduction arbitraire n’est possible.
3. Formulation succincte :
En logique minimale, une contradiction est un cul-de-sac sur les chemins des preuves : elle existe si construite, mais elle n’ouvre aucune route vers d’autres conclusions.
4. Interprétation conceptuelle :
- Elle signale un blocage, pas une vérité universelle.
- Elle est locale, constructible, et non explosive.
- Cela fait partie de la prudence radicale du cadre minimaliste.
___
II.
Rejet de l’ex falso quodlibet :
- En classique ou intuitionniste : ⊥ → 𝐵, toute contradiction explose le système.
- En minimale : ⊥ ne produit rien d’autre.
- La contradiction est locale et contrôlée, un simple “cul-de-sac” de preuve.
___
Pourquoi certains la considèrent comme « la vraie logique minimale » ?
Parce que :
- Aucune métaphysique forte : pas de vérité absolue, pas de postulat ontologique.
- Erreur n’implique pas tout : une construction invalide ne rend pas le système trivial.
- Correspond au raisonnement réel : scientifique, empirique, informatique, humain.
- Compatible avec l’incomplétude : on peut raisonner même si certaines preuves manquent.
Formule synthétique :
La logique minimale est la seule logique qui soit radicalement prudente, constructive, et non explosive. Elle refuse de transformer l’erreur ou la contradiction en vérité universelle.
C’est exactement ce qui justifie qu’on la considère comme la “logique minimale authentique”.
___
Domaines d’application :
- Fondements des mathématiques : constructions explicites, prudentes, non-explosives.
- Philosophie du langage : logique comme outil de preuve, pas comme métaphysique.
- Informatique théorique / preuve constructive : transformations de preuves = programmes.
- Raisonnement par preuve constructive : rien n’est supposé, tout est construit.
___
- Une affirmation gratuite, sans preuve construite, même si c'est argumenté, est illogique, ne prouve rien d'une manière certaine. Ce que seul le cadre de la logique minimale permet.
- Il n'y a pas de vérité hors preuve construite en logique minimale. Il y a des preuves construites ou pas.
- La logique minimale permet de distinguer les énoncés qui sont des preuves et ceux qui n'en sont pas.
- Il y a des preuves de contradictions. Quand ça arrive, ce n'est pas bon. Mais l'on ne peut rien en conclure d'autre, et ce n'est pas dramatique au final. La contradiction n'est rien d'autre qu'un cul de sac.
- Si les inférences ne respectent pas les règles d’un système logique formel, il n’y a aucune garantie que la conclusion soit valide, même si les idées sont claires ou cohérentes “au sens commun”. La rigueur conceptuelle seule ne suffit pas, seul la validité formelle est ce qui transforme on construit un raisonnement en preuve contraignante.
- En logique stricte, chaque concept doit être défini dialectiquement (en cohérence avec les autres), et les inférences doivent suivre des règles immuables. Sans cela, le raisonnement reste argumentatif, non démonstratif.
- Ne pas confondre argumentation et démonstration logique.
.
- La réalité est toujours beaucoup plus riche et complexe que ce que l'on peut percevoir, se représenter, concevoir, croire ou comprendre.
- Nous ne savons pas ce que nous ne savons pas.
Humilité !
- Toute expérience vécue résulte de choix. Et tout choix produit son lot d'expériences vécues.
Sagesse !
- Nous ne savons pas ce que nous ne savons pas.
Humilité !
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Sagesse !
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