Euler un ami pour la vie

[ultrafiltre2]

salut

Ce topic pour vous prouver que Euler est gentil et peut devenir votre ami (l'ami de votre vie)

il suffit de lui parler simplement sans chercher à compliquer les relations entre lui et vous

pré-requis: théoreme de Pythagore et équation du second degré et c'est tout! et de rien d'autre

vraiment de strictement rien d'autre -par exemple aucune notion de trigonométrie n'est demandée

_________________________
Enoncé

on se place dans le plan : soient sont donnés les coordonnées cartésiennes de 9 points

on recherche si il existe un cercle sur lequel sont situés tous ces points

donner son centre et son rayon avec pour seuls outils les deux pré requis (et de rien d'autre)

P1=(6.022727272727,3.613636363636)
P2=(11.022727272727,10.86363636363)
P3=(14.022727272727,5.8636363636363)
P4=(13,9.5)
P5=(8,2.25)
P6=(5,7.25)
P7=(13.75,8.25)
P8=(13.0461538462,3.66923076923)
P9=(7.2602739726,10.5273972603)

[yacoub]

Salut, mon pote, tu me donnes 9 points et je dois chercher le centre du cercle qui passe par ses 9 points. Pas difficile le problème. Je prends deux points je trace la médiatrice et ainsi de suite, s'il n y a qu'un point de concours, le problème est résolu.

[ultrafiltre2]

Salut Camarade Yacoub

Excuse moi Yacoub mais tu n'a pas lu ce qui est demandé : Tracer quelque chose est interdit

Il ne s'agit pas d'un exo de géométrie où on va tracer quelque chose sur une feuille

N'utiliser uniquement que les equations du second degré ax^2+bx+c=0 et le théorème de Pythagore...a^2+b^2=h^2

Euler n'a pas fait autrement pour demontrer qu'il n'existe qu'un seul et unique cercle passant par ces neuf points là et en donner son centre et son rayon

[yacoub]

Le théorème de Pythagore c'est de la géométrie, ce n'est pas de l'algèbre !

[ultrafiltre2]

mais camarade Yacoub tout est de l'algèbre

les définitions sont algébriques (tout commence par là Jacqueline Lelong Ferrand en Algebre et sa définition algébrique de la géométrie affine : c'est la maître)

mais oublions ça : pour cet exo il est interdit de dessiner quoi que ce soit et d'utiliser autre chose que les équations du second degré et le théorême de Pythagore

[yacoub]

Je vais réfléchir à ça mais reconnais que ma solution avec les médiatrices tient la route.

[ultrafiltre2]

je reconnais Yacoub

mais ce qui est demandé ici ne demande aucun pré-requis

on a rien besoin de savoir à part ce qui est donné comme outil

savoir calculer les racines de ax^2+bx+c=0 et connaitre la relation entre les cotés d'un triangle rectangle a^2+b^2=h^2

rien d'autre

[yacoub]

P1=(6.022727272727,3.613636363636)
P2=(11.022727272727,10.86363636363)
P3=(14.022727272727,5.8636363636363)
P4=(13,9.5)
P5=(8,2.25)
P6=(5,7.25)
P7=(13.75,8.25)
P8=(13.0461538462,3.66923076923)
P9=(7.2602739726,10.5273972603)

Avec ça, je peux créer 9 équations du second degré facilement mais je ne vois pas comment je peux introduire le théorème de Pythagore.

[ultrafiltre2]

le theoreme de Pythagore oblige que pour tout point du plan de coordonnées cartesienne (x,y) situé sur un cercle de centre (a,b) et de rayon R

alors on vérifie l'expression

(x-a)^2+(y-b)^2-R^2=0 (c'est Pythagore qui impose ça)

je précise (au cas où) ce sont des valeurs numeriques que j'ai donné et donc on te demande une valeur approchée pour le centre et le rayon du cercle et non pas leur équation : c'est logique mais je suppose que tu avais compris (je dit ça pour les autres)

[yacoub]

6.022727272727,3.613636363636


(x-6.022727272727)^2+(y-3.613636363636)^2-R^2=0

J'ai trois inconnues et une équation !

[ultrafiltre2]

camarade Yacoub

je te donne un indice

pour commencer à resoudre ce problème n'utilise pas les données numériques (approchées ) que j'ai donné

pose les conditions algebriques obligatoires (voir le post precedent)

[yacoub]

Droite et cercle d'Euler
Propriétés de l'orthocentre
Soit X le point tel que OX> = OA> + OB> + OC>
OX> - OA> = OB> + OC>. Soit, M étant le milieu de BC : AX> = 2 OM>, AX est donc parallèle à la médiatrice OM, et donc AX est la hauteur du triangle ABC, de même pour les autres sommets, et donc X est en fait l'orthocentre H.

AH> = 2 OM>

Soit A' l'intersection de OA et MH. ⇒ A' est le centre de l'homothétie de rapport 2 transformant O,M en A,H et donc O est le milieu de AA' ⇒ A' est sur le cercle circonscrit. De plus M est le milieu de HA'.

Soit H' l'intersection de AH avec le cercle circonscrit. AH' est perpendiculaire à A'H', donc A'H' parallèle à BC. Dans le triangle HH'A', comme M est le milieu de HA', K est le milieu de HH'.

Le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit
Le symétrique de l'orthocentre par rapport au milieu d'un côté est sur le cercle circonscrit
Droite d'Euler
Soit G l'intersection de OH et AM. ⇒ G est le centre de l'homothétie de rapport -2 transformant O en H et M en A.
Donc GM = 1/3 AM, et G est le centre de gravité du triangle ABC (isobarycentre).

Le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit sont alignés sur la Droite d'Euler
GH> = -2.GO>
Cercle d'Euler
Étudions l'homothétie de centre G et de rapport -1/2.
Elle transforme O en le milieu ω de OH, et le cercle circonscrit en un cercle Γ, de centre ω, de rayon R/2.
Elle transforme A en M et de même pour B et C transformés en les milieux respectifs de AC et AB.
Le cercle Γ est donc le cercle circonscrit au triangle médian (triangle des milieux).
L'homothétie de centre G transforme A' en le milieu N de AH, car G est le centre de gravité du triangle AHA' : intersection des médianes AM (M milieu de HA') et HO (droite d'Euler).

Il existe une autre homothétie transformant le cercle circonscrit en le cercle Γ : elle transforme O en ω et à pour rapport +1/2. Le centre de cette homothétie est donc H (HO = 2Hω, avec )
Dans cette homothétie, le point H' est transformé en K milieu de HH', donc K est aussi sur Γ.
(noter qu'elle transforme A' en M, déjà vu comme étant sur Γ)

Les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments joignant l'orthocentre
aux sommets sont sur un même cercle, appelé cercle des neuf points ou cercle d'Euler

Son centre est le milieu de OH, son rayon R/2

Il existe bien d'autres points remarquables sur la droite et sur le cercle d'Euler d'un triangle.
D'après l'encyclopédie ETC des points remarquables, il y a 222 points remarquables sur la droite d'Euler !
Bien entendu, le centre (ω milieu de OH) du cercle d'Euler est sur la droite d'Euler OH.

Parmi les points connus du cercle d'Euler, citons les points de Feuerbach : points de contact avec les cercles inscrits et exinscrits.
Mais il y en a une 30aine d'autres. La plupart sont des transformés par l'une des homothéties précédentes de points remarquables sur le cercle circonscrit.
C'est à dire en considérant le cercle d'Euler comme le cercle circonscrit du triangle orthique (triangle formé par les pieds des hauteurs), ou du triangle médian.

[ultrafiltre2]

merci Yacoub pour ta participation active

bon alors de ce qui a été dit hier il résulte une première conséquence

il s'agit de rechercher (uniquement avec les deux outils susmentionnés) un cercle de centre O et de rayon R tel que n points notés Xj (avec j de 1 à n) appartiennent à ce cercle (en clair voir s'ils sont cocycliques ou non)

on notera O=(o_1,o_2) avec o_1 et o_2 les coordonnées cartésiennes du point O
Xj=(x_1j,x_2j) avec x_1j et x_2j les coordonnées cartiennes du point Xj

une première conséquence algébrique est que l'on dispose du système de n équations suivant:
(x_11-o_1)^2+(x_21-o_2)^2-R^2=0
...
(x_1n-o_1)^2+(x_2n-o_2)^2-R^2=0

et étant donné que R est le rayon d'un cercle alors R>0

en développant ce système on en arrive à obtenir six autres conséquences algébriques :

pour tout point Xj quelconque parmi les n points donnés on observera l'une de ces six configurations

et toute autre possibilité sera impossible si il est vrai que ces n points soient cocycliques

1. Lorsque R^2+2x_2j.o_2-x_2j^2-o_2^2>0 et lorsque o_2=x_2j alors

o_1=x_1j+R "OU EXCLUSIF" o_1=x_1j-R

2 Lorsque R^2+2x_2j.o_2-x_2j^2-o_2^2>0
et lorsque o_2 appartiens à l'ensemble union des intervalles ouverts ]x_2j-R;x_2j[ UNION ]x_2j,x_2j+R[ alors

o_1=x_1j+ racine carré de (R^2+2x_2j.o_2-x_2j^2-o_2^2)

"OU EXCLUSIF"

o_1=x_1j- racine carré de (R^2+2x_2j.o_2-x_2j^2-o_2^2)

3 Lorsque R^2+2x_2j.o_2-x_2j^2-o_2^2=0 alors o_1=x_1j

o_2=x_2j+R "OU EXCLUSIF" o_2=x_2j-R

4. Lorsque R^2+2x_1j.o_1-x_1j^2-o_1^2>0 et lorsque o_1=x_1j alors

o_2=x_2j+R "OU EXCLUSIF" o_2=x_2j-R

5 Lorsque R^2+2x_1j.o_1-x_1j^2-o_1^2>0
et lorsque o_1 appartiens à l'ensemble union des intervalles ouverts ]x_1j-R;x_1j[ UNION ]x_1j,x_1j+R[ alors

o_2=x_2j+ racine carré de (R^2+2x_1j.o_1-x_1j^2-o_1^2)

"OU EXCLUSIF"

o_2=x_2j- racine carré de (R^2+2x_1j.o_1-x_1j^2-o_1^2)

6 Lorsque R^2+2x_1j.o_1-x_1j^2-o_1^2=0 alors o_2=x_2j

o_1=x_1j+R "OU EXCLUSIF" o_1=x_1j-R
___________________________

À présent, ces configurations ne sont pas d'une grande aide mais c'est à partir de là qu'on va obtenir d'autres conséquences algébriques

toujours dans cette hypothèse qu'ils soient cocycliques alors on peut prendre n'importe quel point parmi ces n points Xj

pour redéfinir le rayon R

dans ce cas prenons le point Xn

on vérifie donc R^2=(x_1n-o_1)^2+(x_2n-o_2)^2

et appliquons cette re écriture de R avec ce que l'on viens de dire

bon je reviens plus tard car c'est long ...

ceci étant si on aurait appliqué dès le départ la méthode de Yacoub on aurait fini depuis longtemps

[yacoub]

Pour moi ce problème est géométrique

[Bragon]

ceci étant si on aurait appliqué dès le départ la méthode de Yacoub on aurait fini depuis longtemps

Si on avait, Ultrafiltre, si on avait. T'es vraiment un nullard Ultrafiltre.
Ton énoncé était déjà truffé de fautes et tu confondais cercle et circonférence.
On ne peut pas faire de maths comme ça Ultrafiltre, il faut d'abord apprendre à parler