Comment la Logique Classique inclut l'intuitionniste

[J'm'interroge]

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Ceci est en réponse à Mathador.


En bleu la logique classique, en rouge la logique intuitionniste :

• Avec
  
  • "P(A)" qui signifie : "il est prouvé que A" ou plus simplement : "A est vraie" ou encore : "A : vraie".
  et
  
  • A et non A : des propositions quelconques pouvant chacune être vraie ou fausse, mais pas l'une et l'autre vraies ou fausses en même temps.
    
    • (A et non A) : nécessairement faux __ Principe de non contradiction
    • (A ou non A) : nécessairement vrai __ Principe du tiers exclu
  On a :
  
  • P(A) <=> A __________________________ => A : vraie
    
    P(non A) <=> non A ___________________ => A : fausse
    
    non P(A) <=> ? ______________________ => A : indéterminée 1
    
    non P(non A) <=> non non A ____________ => A : indéterminée 2

• On note que :
  
  • • • non P(A) <≠> non P(non A)

• • Démonstration par l'absurde :
    
    • • Si on avait : non P(A) <=> non P(non A), alors on aurait :
        
        • non (non non A) <=> P(non (non P(non A))) <=> P(P(non A)) <=> P(non A) <=> non A
        et :
        
        • non (non non A) <=> P(non (non P(A))) <=> P(P(A)) <=> P(A) <=> A
        Or c'est contradictoire.
        
        Donc :
        
        • non P(A) <≠> non P(non A)
  On retient donc :
  
  • A <=> P(A)
    
    non A <=> P(non A)
    
    non (non A) <=> P (non P (non A)) <=> non P(non A)
  
  On retrouve bien les 2 théorèmes de base de la Li :
  
  • non A <≠> non non A
    
    • (étant donné que P(A) n'est pas davantage équivalent à non P(non A) qu'à non P(A).)
  • • et
  • non A <=> non non non A
  • • Preuve :
      
      • non (non non A) <=> P(non (non P(non A))) <=> P(P(non A)) <=> P(non A) <=> non A
  ________________
  
  
  Remarque 1 :
  
  • A <≠> non non A
    
    • • En revanche :
        
        • • A => non non A
  
  
  
  Remarque 2 :
  
  • Le fait que A <≠> non non A, mais que non non non A <=> non A est tout à fait intéressant, car l'on peut en inférer ceci :
    
    • A, non A et non non A
      
      • Tels que :
        
        • A <≠> non A <≠> non non A <≠> A
    
    
    • • Et que mis à part ces trois cas l'on a toujours des configurations comme :
        
        • non A <=> (non non) non A
          
          non non A <=> (non non) non non A
          
          (non non) non A <=> (non non) (non non) non A
          
          Etc.
        
        
        Ce qui revient à dire qu'en Li, on peut toujours supprimer un "non non" devant un non A.

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[pierrem333]

Un début d'un Dieu calculable

[J'm'interroge]

[EDIT : Réarrangement, du premier post et erreur grave corrigée.]

[mathador]

Merci.

[J'm'interroge]

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En fait, en français ça donne :

• A
  P(A)
  A prouvée vraie.
  
  
  non A
  P(non A)
  A prouvée fausse.
  
  
  non non A
  non P(non A)
  Prouvé faux que "A prouvée fausse".
  "A prouvée fausse", non prouvée.
  
  
  non non non A
  non (non P(non A))
  Prouvé faux que "A prouvée fausse, non prouvée".
  A prouvée fausse.
  non A
  P(non A)

______________


P(A) <=> A

P(non A) <=> non A

non P(A) <=> ?

non P(non A) <=> non non A

• Soit : -----------> non P(A) : une expression en Lc qui n'a pas d'équivalent en Li.

• C'est-à-dire :
  
  
  • non P(A)
    Prouvé faux que "A prouvée vraie".
    "A prouvée vraie", non prouvée.
    A non prouvée.

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[gadou]

"P(A)" qui signifie : "il est prouvé que A" ou plus simplement : "A est vraie" ou encore : "A : vraie".

Dès cette première affirmation je n'adhère pas.

"Il est prouvé que A", n'est pas équivalent à "A vrai"
mais on a:
"il est prouvé que A" => "A vrai" et "A vrai" ≠> "Il est prouvé que A"
par contre on peut très bien avoir : "A vrai" et "Il est impossible de prouver A"

Cette proposition A est ce qu'on appelle un axiome et sans axiome pas une seule démonstration n'est possible.
Parceque toute démonstration doit avoir un début, il faut obligatoirement une partie non démontrée pour commencer la démo.

Et du coup tes équations me semblent basées sur une erreur... Mais ta proposition sur la logique intuitive est très bien !

[J'm'interroge]

"P(A)" qui signifie : "il est prouvé que A" ou plus simplement : "A est vraie" ou encore : "A : vraie".

Dès cette première affirmation je n'adhère pas.

"Il est prouvé que A", n'est pas équivalent à "A vrai"

mais on a:
"il est prouvé que A" => "A vrai" et "A vrai" ≠> "Il est prouvé que A"
par contre on peut très bien avoir : "A vrai" et "Il est impossible de prouver A"

Dans quelle logique ?

- En logique classique on pose (A ou non A) : nécessairement vraie. -----> C'est axiomatique.

Ce qui signifie ceci :

• ((A : vraie et non A : fausse) ou (A : fausse et non A : vraie)) : nécessairement vraie

Et aussi que :

• Qu'importe si A est vraie ou fausse, l'on peut raisonner sur A et par conséquent en inférer des vérités.
  
  • -----> C'est pourquoi je ne travaille qu'avec la logique classique que j'estime supérieure et première à la logique intuitionniste.

- En Logique intuitionniste il y a 3 cas qui se formulent ainsi :

• - soit A est prouvée et dans ce cas on écrit : A,
  - soit A est prouvée fausse et dans ce cas on écrit : non A
  - soit A n'est pas prouvée fausse et dans ce cas on écrit : non non A.

En Li, quand on déclare une chose : A, non A ou non non A, cette chose est établie, prouvée selon un ensemble de règles et de vérités qui évidemment ne sont pas elles-mêmes toutes prouvées puisqu'elles comportent des axiomes. Mais cela ne gène en rien.

Rappels :

• Une théorie mathématique ou logique est un ensemble de propositions dont certaines sont des axiomes et les autres des théorèmes démontrables à partir de ces axiomes au moyen des règles de la logique.
  
  Un axiome c'est une proposition élémentaire et de ce fait indémontrable, dont la vérité générale ou universelle est évidente, et qui résiste à la critique rationnelle.

Donc je ne vois pas à quoi tu n'adhères pas l'ami.

Cette proposition A est ce qu'on appelle un axiome et sans axiome pas une seule démonstration n'est possible.
Parceque toute démonstration doit avoir un début, il faut obligatoirement une partie non démontrée pour commencer la démo.

Certes mais non, cette proposition A n'est pas forcément un axiome. Ce peut être aussi une vérité inférée ou autrement dit : démontrée à partir d'autres vérités elles-mêmes démontrées à partir d'autres vérités démontréee...

Certes, l'on part toujours d'axiomes, mais un axiome n'est pas une proposition arbitraire non plus. C'est comme je le rappelais plus haut : une proposition élémentaire, dont la vérité générale ou universelle est évidente, et qui résiste à la critique rationnelle.

Et du coup tes équations me semblent basées sur une erreur... Mais ta proposition sur la logique intuitive est très bien !

Quelle erreur ?

[J'm'interroge]

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Les règles communes :

Dans La Lc et la Li, on dispose des deux règles suivantes, relatives à la négation :

• - Si on a à la fois une proposition "A" et sa négation "non A", alors on a une contradiction, notée "⊥".
  
  • (A et non A) => ⊥
  - Si une proposition "A" conduit à une contradiction, alors c'est que "non A" est valide.
  
  • (A => ⊥) => non A
  - D'une contradiction n'importe quelle proposition peut être inférée : "⊥ => B", ce qu'on résume par la formule ex falso sequitur quodlibet.

La différence :

Les deux logiques diffèrent sur les conséquences à tirer d'une contradiction.

• - La logique classique utilise le raisonnement par l'absurde et déduit de "non A => ⊥" le fait que "A" est valide. C'est en fait une règle d'élimination de la double négation, puisque "non A => ⊥" est un synonyme de "non non A".

[J'm'interroge]

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Remarque :

• - Les deux logiques diffèrent aussi en cela que "non A" en logique classique ne signifie pas nécessairement que "A" soit fausse. "Non A" signifie simplement la négation de la proposition "A". Il y est donc possible que "A" soit fausse et dans ce cas que "non A" soit vraie.

[J'm'interroge]

Vu l'intérêt que ce sujet suscite, et puisque même U2 est largé, je crains qu'il ne sert à rien de poursuivre.