Arrondir correctement en fonction du contexte.

[San Sanchez]

Comment arrondir correctement en fonction du contexte d'un problème?

En discutant sur ce forum j'ai constaté que cela posait problème à de nombreuses personnes ici, pourtant c'est assez simple dès qu'on a compris comment procéder(en France, c'est au programme de la classe de 6ème) et cela peut se révéler extrêmement pratique, que se soit pour compter, pour faire des moyennes, pour appliquer une taxe comme la TVA , pour acheter ni trop de ni pas assez de etc...

Je suis conscient qu'hélas beaucoup de gens n'aiment pas les maths, c'est pourquoi je vais faire simple, je ne vais pas utiliser le vocabulaire mathématique tout en m'appuyant sur des exemples concrets. On ne vas pas rentrer dans les détails les plus difficiles et techniques qui ne serviront à presque personne, n'ayez pas peur car je ne parlerais donc pas de virgule flottante par exemple.

Pour commencer, il y a tout d'abord les cas de figure où arrondir n'est pas utile. Si on a une dette de 351,29 euro à rembourser à quelqu'un en espèce, c'est tout à fait faisable avec les pièces et les billets existants donc inutile d'arrondir cette dette.

Ensuite, pour simplifier, il n'y a que 2 possibilités d'arrondissement en fonction du contexte d'un problème.

Mais on pourrait voir "l'absence de contexte" ou l'arrondissement "normal" c'est à dire celui utilisé dans la plupart des cas et par la plupart des logiciels comme un troisième cas de figure.

On va dire pour simplifier que cette arrondissement "normal" consiste à arrondir à l'entier le plus proche ou quand on est au milieu avec 1,5 par exemple à l'entier supérieur.

Ce qui fait qu'on arrondit "normalement":
1,1 à 1
1,4 à 1
1,5 à 2
1,6 à 2
1,9 à 2
Etc...

Mais ce n'est pas toujours si simple, arrondir de cette manière peut parfois selon le contexte du problème nous amener à un mauvais résultat.

Premier cas de figure.

Imaginons un pâtissier qui fabrique un seul type de gâteau.

Il veut utiliser pour la prochaine fournée une quantité x d'ingrédients et la question est combien de gâteau peut-il fabriquer avec cette quantité d'ingrédients en sachant qu'il en faut y quantité pour en fabriquer un seul.

Pour allez plus vite imaginons que le bon calcul nous donne 50,9 gâteaux comme résultat. Le calcul nous informe donc que la quantité d'ingrédients qu'il veut utiliser lui permet de fabriquer 50,9 gâteaux.

Si on utilise maintenant l'arrondissement "normal". On trouve 51 gâteaux comme résultat mais c'est évidemment un faux résultat car ce pâtissier ne dispose pas de quoi faire 51 gâteaux donc il lui est impossible d'en faire 51.

La bonne réponse était donc 50. Parce que les 0,9 sont en trop dans le contexte du problème car ils ne permettent pas d'arriver à la création d'un gâteau supplémentaire.

Second cas de figure.

Imaginons maintenant les organisateurs d'une fête qui doivent préparer 100 litres de sangria pour la fête.
Pour allez plus vite disons que le bon calcul nous informe qu'ils ont besoin de 75,1 bouteilles de vin pour préparer les 100 litres de sangria.

Si on utilise maintenant l'arrondissement "normal". On trouve 75 bouteilles comme résultat mais c'est encore un faux résultat car il va falloir ouvrir une 76ème bouteille pour avoir assez de vin pour finir la préparation.

La bonne réponse était donc 76.

Cela montre qu'en fonction du contexte il faut comprendre lorsqu'on a besoin comme résultat d'un nombre entier si les chiffres après la virgule qu'on obtient par le calcul sont en manque ou au contraire en trop.

Si on a besoin de 75,1 bouteilles de vin, c'est évident qu'on va devoir en ouvrir 76.

Si on dispose de quoi fabriquer 50,9 gâteaux, c'est évident qu'on pourra en faire 50 mais qu'on sera dans l'impossibilité d'en faire 51.

Ces exemples que j'ai volontairement pris simple, peuvent même paraitre simpliste mais cela fonctionne exactement de la même manière pour des problèmes plus compliqués.

On parlait l'autre jour de comment exprimer correctement 1350 jours en années mois et jours.(Comprendre sous la forme x années y mois z jours).

Comment bien faire ce calcul?

On a besoin d'abord de savoir combien il y a de jours dans une année. On sait qu'une année dure 365 jours et 366 jours une fois tout les 4 ans.

Ce qui nous donne une année égale à 365,25 jours. Ensuite il suffit de diviser 1350 jours par 365,25.

On obtient: 3,69609856262833675564681724846 années.

Ce qui déjà nous permet de savoir que dans le résultat final le nombre d'années est 3.

Un point technique à connaitre ici. On peut arrondir par exemple à 3,7 quand on veut donner ce résultat intermédiaire. Mais il faut continuer d'utiliser autant que possible les valeurs exactes(ici c'est 3,69609856262833675564681724846 qui sert de valeur exacte) au moment des calculs sinon on prend le risque de fausser de plus en plus le calcul à chaque étape intermédiaire.

Donc je peux dire qu'on obtient approximativement 3,7 années mais dans les calculs j'utiliserais toujours les valeurs les plus exactes.

Ensuite il faut convertir les presque 0,7 années restantes en mois(0,69609856262833675564681724846 étant la valeur exacte).

On sait qu'une année compte 12 mois, donc il suffit de multiplier la valeur exacte d'années restantes par 12.

Ce qui donne: 8,35318275154004106776180698152 mois.

Toujours pareil, on peut présenter ce résultat intermédiaire en arrondissant à 8,4 mois mais il faut toujours utiliser la valeur la plus exacte au moment des calculs pour éviter de fausser les calculs.

On avance et on sait maintenant que 8 mois figurera dans le résultat final.

Désormais, il nous reste environ 0,4 mois à transformer en jours.

On a donc besoin de savoir combien de jours il y a en moyenne dans un mois.

On sait qu'il y a 12 mois et 365,25 jours dans une année, ce qui veut dire qu'il faut diviser 365,25 par 12.

Ce qui donne très exactement 30,4375 jours par mois en moyenne.

Maintenant, il nous reste à multiplier les environ 0,4 mois restants(0,35318275154004106776180698152 mois) par 30,4375.

Cela nous donne 10,750000000000000000000000000015 jours.

Soit presque exactement 10,75 jours.

Que faire des 0,75 jours restants? Doit-on les convertir en heures? Non, parce qu'on cherche un résultat exprimé en années, en mois et en jours.

Comment doit-on arrondir alors? C'est le moment de se demander si les 0,75 jours sont en trop ou en manque.

La réponse est assez évidente, 0,75 jours étant insuffisants pour faire 1 jour, ces 0,75 jours sont en trop.

Pour ceux qui ont du mal à comprendre pourquoi ils sont en trop. Il faut bien comprendre que tant qu'un jour n'est pas écoulé totalement on est encore dedans.
Ou pour donner un exemple plus précis, imaginons une soirée qui commencerait un vendredi soir à 23h59, elle ne commencerait pas samedi mais bien vendredi aussi proche de samedi soit-on à ce moment là.

Donc 1350 jours exprimée en année, en mois et en jours c'est 3 ans 8 mois et 10 jours, quoi qu'en disent les outils pratiques qu'offrent certains sites web qui je pense sont simplement victime du fait que la plupart des logiciels utilisent l'arrondissement "normal" même quand cela donne un faux résultat et donc ne sont pas assez fiables pour résoudre un problème tel que celui-ci.

J'espère avoir été suffisamment clair et précis et si vous avez des questions n'hésitez pas.

[Pollux]

Premier cas de figure.

Imaginons un pâtissier qui fabrique un seul type de gâteau.

Il veut utiliser pour la prochaine fournée une quantité x d'ingrédients et la question est combien de gâteau peut-il fabriquer avec cette quantité d'ingrédients en sachant qu'il en faut y quantité pour en fabriquer un seul.

Pour allez plus vite imaginons que le bon calcul nous donne 50,9 gâteaux comme résultat. Le calcul nous informe donc que la quantité d'ingrédients qu'il veut utiliser lui permet de fabriquer 50,9 gâteaux.

Si on utilise maintenant l'arrondissement "normal". On trouve 51 gâteaux comme résultat mais c'est évidemment un faux résultat car ce pâtissier ne dispose pas de quoi faire 51 gâteaux donc il lui est impossible d'en faire 51.

La bonne réponse était donc 50. Parce que les 0,9 sont en trop dans le contexte du problème car ils ne permettent pas d'arriver à la création d'un gâteau supplémentaire.

Le pâtissier pourrait aussi faire le dernier gâteau 10% plus petit sans que ça provoque la fin du monde.

Plus sérieusement dans l'exemple que tu donnes il faut supposer que les calculs sont exacts, sinon ton arrondissement (ou plutôt ton troncage) ne garanti rien.

On parlait l'autre jour de comment exprimer correctement 1350 jours en années mois et jours.(Comprendre sous la forme x années y mois z jours).

Comment bien faire ce calcul?

On a besoin d'abord de savoir combien il y a de jours dans une année. On sait qu'une année dure 365 jours et 366 jours une fois tout les 4 ans.

Ce qui nous donne une année égale à 365,25 jours. Ensuite il suffit de diviser 1350 jours par 365,25.

On obtient: 3,69609856262833675564681724846 années.

Ce qui déjà nous permet de savoir que dans le résultat final le nombre d'années est 3.

Un point technique à connaitre ici. On peut arrondir par exemple à 3,7 quand on veut donner ce résultat intermédiaire. Mais il faut continuer d'utiliser autant que possible les valeurs exactes(ici c'est 3,69609856262833675564681724846 qui sert de valeur exacte) au moment des calculs sinon on prend le risque de fausser de plus en plus le calcul à chaque étape intermédiaire.

Donc je peux dire qu'on obtient approximativement 3,7 années mais dans les calculs j'utiliserais toujours les valeurs les plus exactes.

Ensuite il faut convertir les presque 0,7 années restantes en mois(0,69609856262833675564681724846 étant la valeur exacte).

On sait qu'une année compte 12 mois, donc il suffit de multiplier la valeur exacte d'années restantes par 12.

Ce qui donne: 8,35318275154004106776180698152 mois.

Toujours pareil, on peut présenter ce résultat intermédiaire en arrondissant à 8,4 mois mais il faut toujours utiliser la valeur la plus exacte au moment des calculs pour éviter de fausser les calculs.

On avance et on sait maintenant que 8 mois figurera dans le résultat final.

Désormais, il nous reste environ 0,4 mois à transformer en jours.

On a donc besoin de savoir combien de jours il y a en moyenne dans un mois.

On sait qu'il y a 12 mois et 365,25 jours dans une année, ce qui veut dire qu'il faut diviser 365,25 par 12.

Ce qui donne très exactement 30,4375 jours par mois en moyenne.

Maintenant, il nous reste à multiplier les environ 0,4 mois restants(0,35318275154004106776180698152 mois) par 30,4375.

Cela nous donne 10,750000000000000000000000000015 jours.

Soit presque exactement 10,75 jours.

Que faire des 0,75 jours restants? Doit-on les convertir en heures? Non, parce qu'on cherche un résultat exprimé en années, en mois et en jours.

Comment doit-on arrondir alors? C'est le moment de se demander si les 0,75 jours sont en trop ou en manque.

La réponse est assez évidente, 0,75 jours étant insuffisants pour faire 1 jour, ces 0,75 jours sont en trop.

Pour ceux qui ont du mal à comprendre pourquoi ils sont en trop. Il faut bien comprendre que tant qu'un jour n'est pas écoulé totalement on est encore dedans.
Ou pour donner un exemple plus précis, imaginons une soirée qui commencerait un vendredi soir à 23h59, elle ne commencerait pas samedi mais bien vendredi aussi proche de samedi soit-on à ce moment là.

Donc 1350 jours exprimée en année, en mois et en jours c'est 3 ans 8 mois et 10 jours, quoi qu'en disent les outils pratiques qu'offrent certains sites web qui je pense sont simplement victime du fait que la plupart des logiciels utilisent l'arrondissement "normal" même quand cela donne un faux résultat et donc ne sont pas assez fiables pour résoudre un problème tel que celui-ci.

Beaucoup de blabla pour en arriver à une mauvaise conclusion.

N'importe qui peut comprendre que 1350 jours exprimés en années-mois-jours ne peut pas donner une balance de 10,75 jours. On doit forcément arriver à un nombre entier de jours. Ce qui prouve que tes calculs sont erronés (et ce n'est pas en mettant un nombre astronomique de décimales après le point que tu vas régler le problème !).

À partir de là il ne reste plus qu'à arrondir à 11 pour faire pencher les probabilités du bon côté.

Comme je te l'ai déjà démontré trois fois, les 1350 jours en années-mois-jours ne donnent pas toujours le même nombre de jours restants. Ça dépend des dates de début et de fin, mais comme tu n'a toujours rien compris je remets l'exemple que je t'avais donné (avec une image en prime):

► Exemple: 1er janvier 2010 au 12 septembre 2013

Année 1 : 2010 => 365 jours
Année 2 : 2011 => 365 jours
Année 3 : 2012 => 366 jours (année bissextile)
Total (années) = 1096 jours

► Les 8 premiers mois de 2013:



Total (mois) = 31+28+31+30+31+30+31+31= 243 jours

Total (années+mois) = 1096 + 243 = 1339 jours

1339 + 11 jours = 1350 jours

C'est donc 11 jours et non pas 10 !

P.S. Tous ceux qui ont 8 ans ou plus d'âge mental pourront vérifier la validité de mon calcul.

[estra2]

Petite précision, on arrondi que lorsqu'on est à l'unité de base, par exemple le gâteau sinon, on prend l'unité inférieure.

Par exemple, dans le cas d'un nombre de jours, si j'arrive à 8,5 jours, je n'ai pas besoin d'arrondir, puisque je peux préciser 8 jours et 12 heures et si j'ai 8,55 jours, je peux préciser 8 jours, 13 heures et 12 minutes et on pourrait aussi utiliser les secondes, les dixièmes de secondes etc.

[San Sanchez]

Petite précision, on arrondi que lorsqu'on est à l'unité de base, par exemple le gâteau sinon, on prend l'unité inférieure.

Par exemple, dans le cas d'un nombre de jours, si j'arrive à 8,5 jours, je n'ai pas besoin d'arrondir, puisque je peux préciser 8 jours et 12 heures et si j'ai 8,55 jours, je peux préciser 8 jours, 13 heures et 12 minutes et on pourrait aussi utiliser les secondes, les dixièmes de secondes etc.

Ce qui tu prétends est faux et la question du problème est comment exprimer 1350 jours en années, mois et jours. Donc les heures ne nous intéressent déjà pas.

Comme je te l'ai déjà démontré trois fois, les 1350 jours en années-mois-jours ne donnent pas toujours le même nombre de jours restants.

Impossible, tout simplement parce que 1350 jours c'est 1350 jours ni plus ni moins, comme un jour est un jour ni plus ni moins et comme 3 jours sont 3 jours ni plus ni moins.

Donc, il est impossible que le résultat final puisse être variable. Il ne peut y avoir évidemment qu'un seul bon résultat final puisque 1350 jours c'est 1350 jours ni plus ni moins.

Ce serait comme convertir 1 kg de farine dans une autre unité de mesure des poids et trouver un résultat variable, qui voudrait dire que le kg de farine pèse plus ou moins lourd ce qui est évidemment impossible car comme 1 jour est 1 jour, un 1 kg est 1 kg.

Ainsi, la seule chose que tu as démontré en réalité et de nombreuses fois comme tu estimais utile de préciser, c'est que tu ne sais pas compter.

[estra2]

Ce qui tu prétends est faux et la question du problème est comment exprimer 1350 jours en années, mois et jours. Donc les heures ne nous intéressent déjà pas.

Ah bon ? Et où cela est-il écrit ?

Comme l'a souligné Pollux, de toute façon, lorsqu'on part d'un nombre entier de jours et qu'à l'arrivée on obtient un résultat avec un nombre non entier de jours, c'est qu'il y a un problème !

Bref.... passer pour un idiot aux yeux d'un imbécile.....

[gadou_bis]

la question du problème est comment exprimer 1350 jours en années, mois et jours.... il est impossible que le résultat final puisse être variable.

Quand tu l'exprime en jour c'est fixe.
Mais tu n'es pas sans savoir que le nombre de jour dans les mois de l'années varie entre 31,30,29 et 28
Et que le nombre de jours dans une année varie entre 365 et 366.

Ce que tente de te faire comprendre polux, c'est que si tu comptes 30 jours depuis le 1er février minuit, tu as 1 mois + 2 jours.
Alors que si tu comptes 30 jours depuis le premier Janvier minuit, tu n'obtiens même pas un mois, mais seulement 30 jours.

Donc les 1350 jours convertis en années mois jours ne donnent pas le même nombre de mois, ni le même nombre jours restant, suivant la date de départ.

[Pollux]

Impossible, tout simplement parce que 1350 jours c'est 1350 jours ni plus ni moins, comme un jour est un jour ni plus ni moins et comme 3 jours sont 3 jours ni plus ni moins.

Et un mois c'est combien de jours ?

On aura compris que pour toi tous les mois ont le même nombre de jours.

Merci Ô Grand Prophète de nous avoir ouvert les yeux sur cette "vérité" cachée aux pauvres ignorants que nous sommes !

[San Sanchez]

Donc les 1350 jours convertis en années mois jours ne donnent pas le même nombre de mois, ni le même nombre jours restant, suivant la date de départ.

Mais où vous avez vu une date de départ? Il n'y a pas de date de départ dans le problème dont on parle qui consiste à convertir 1350 jours sous la forme x années, y mois et z jours.

On est pas du tout entrain de calculer l'écart de jours entre 2 dates, ni entrain d'ajouter des jours à une date pour voir où on arrive. Cas de figures où les résultats ne pourraient évidemment pas non plus être variable d'ailleurs.

[Pollux]

Mais où vous avez vu une date de départ? Il n'y a pas de date de départ dans le problème dont on parle qui consiste à convertir 1350 jours sous la forme x années, y mois et z jours.

Pourrais-tu nous dire sur quelle planète tu vis ?

Si on ne connait pas la date de départ il n'y a pas de réponse exacte à ce problème étant donné que le nombre de jours restant varie selon la date.

[San Sanchez]

Je répète ce que je viens de dire.

Le problème ne consiste pas à ajouter 1350 jours à une date de départ(qui est inexistante c'était un indice quand même) mais à exprimer une durée de 1350 jours sous la forme x années, y mois, z jours.

[indian]

années-solaires ou lunaires?

[Pollux]

Le problème ne consiste pas à ajouter 1350 jours à une date de départ(qui est inexistante c'était un indice quand même) mais à exprimer une durée de 1350 jours sous la forme x années, y mois, z jours.

Ton problème est déconnecté de la réalité tout comme toi.

On ne peut pas donner une réponse exacte à un problème sans connaitre tous les paramètres nécessaires au calcul.

[San Sanchez]

Ton problème est déconnecté de la réalité tout comme toi.

On ne peut pas donner une réponse exacte à un problème sans connaitre tous les paramètres nécessaires au calcul.

Et un mois c'est combien de jours ?

On aura compris que pour toi tous les mois ont le même nombre de jours.

Pour n'avoir que faire du fait que les mois n'ont pas tous la même durée on utilise un outil mathématique "incroyable et magique" utilisé depuis l'antiquité qui s'appelle une moyenne et qui est enseigné aux enfants dès l'école primaire.

Pour l'année, on calcule ainsi la durée moyenne d'une année en prenant en compte l'année bissextile une fois tout les 4 ans.

Ce qui donne (3x365+366)/4=365,25 jours par an en moyenne.

Ensuite, on calcule ainsi la durée moyenne d'un mois en jours(365,25/12) ce qui donne très exactement 30,4375 jours.

Un mois dure donc en moyenne très exactement 30,4375 jours et une année 365,25 jours.

PS: Bienvenue dans mon monde où les moyennes existent.

[Pollux]

Pour l'année, on calcule ainsi la durée moyenne d'une année en prenant en compte l'année bissextile une fois tout les 4 ans.

Ce qui donne (3x365+366)/4=365,25 jours par an en moyenne.

Ensuite, on calcule ainsi la durée moyenne d'un mois en jours(365,25/12) ce qui donne très exactement 30,4375 jours.

Mais je n'ai jamais dit le contraire !

Le problème c'est que:

1- Tu tiens à utiliser une précision extrême pour un calcul qui ne peut être qu'approximatif compte tenu de la variabilité du nombre de jours restants, c'est-à-dire ± 1 ou 2 jours; ce qui est considérable !

2- Tu arrondis ton 10,75 de la mauvaise façon puisque le résultat le plus probable est 11 jours et non pas 10.

3- Tu ne donnes aucune information sur la fourchette des résultats possibles: 9, 10, 11 ou 12 jours. Tu te contentes seulement d'affirmer que ton 10 jours est la seule et unique Vérité.

4- Tu ne tiens pas compte du fait que ma réponse originale s'adressait à prisca qui a des difficultés en mathématiques et que je devais simplifier le plus possible mes calculs pour qu'ils soient facilement compréhensibles.

5- Et puisque que tu es obsédé par la précision extrême et inutile je te signale que le nombre moyen de jours dans une année est de 365,2425 jours (et 365,2422 pour l'année solaire). Ton "très exactement" est donc faux:

Un mois dure donc en moyenne très exactement 30,4375 jours et une année 365,25 jours.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ann%C3%A9e_bissextile

[San Sanchez]

Je recommence pour la énième fois l'explication du problème:

On a 1350 jours et on cherche comment exprimer cette durée sous la forme x années y mois et z jours.

Si le problème consiste à allez d'une date à une autre sur un calendrier ce qui n'est pas le cas ici, les gens qui savent compter utilisent directement les 1350 jours qui sont connu dès le départ et donc il est totalement inutile d'exprimer cette durée de 1350 jours sous la forme x années y mois et z jours.

Comme Prisca ne fait pas partie de ces gens qui savent compter, elle a dès le départ fait l'erreur de penser que pour compter les jours plus facilement, il fallait convertir les 1350 jours sous la forme x années y mois et z jours et elle a échoué en essayant de le faire.

De ton coté, toi tu penses qu'il faut utiliser un calendrier pour compter les jours et ainsi réussir à exprimer 1350 jours sous la forme x années, y mois et z jours, ce qui est une idée absurde que seul un ignorant pouvait avoir et comme Prisca tu as raté la conversion parce que comme elle, tu ne sais pas compter.