Logique minimale

[J'm'interroge]

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Introduction à la logique minimale :


Ces systèmes dits "logiques", mais qui ne le sont pas — “para-consistants” ou autres “informels” — ne sont pas des logiques formelles au sens rationnel, puisqu’ils violent le principe fondamental de toute logique : celui de non-contradiction. Ce ne sont que des artifices pour manipuler des contradictions dans un cadre parfois technique, mais appeler cela une “logique” prête à confusion et légitime à tort des modes de raisonnement informels et inconsistants. Le mot “logique” y est utilisé comme un détournement terminologique.

Contrairement aux logiques paraconsistantes ou “informelles” : la logique minimale est une véritable logique formelle, elle ne viole pas le principe de non-contradiction, et elle ne prétend pas “tolérer” les contradictions : elle les traite de manière contrôlée.

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Voici une synthèse succincte des principes de la logique minimale :


1. Constructivisme strict : Une proposition n’est logique que si une preuve construite existe.

2. Négation constructive : ¬𝐴 si et seulement si 𝐴 → ⊥
Prouver ¬A revient à construire une méthode transformant toute preuve de A en ⊥.

3. Contradiction locale : 𝐴 ∧ ¬𝐴 → ⊥ est construite uniquement si les preuves existent et ⊥ n’implique rien d’autre par défaut.

4. Implication comme transformation de preuves : 𝐴 → 𝐵
Autrement dit : “il existe une méthode pour transformer toute preuve de A en preuve de B”.

5. Pas d’ex falso quodlibet : Une contradiction n’explose pas le système. On ne peut pas déduire arbitrairement une autre proposition à partir de ⊥.

6. Prudence et non-arbitraire : Rien n’est supposé ou présupposé ontologiquement. Toutes les conclusions doivent être explicitement construites à partir de preuves disponibles.

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En logique minimale, la définition de la négation est géniale : Négation (¬) est définie comme suit : ¬A si que A→⊥
On ne dit pas que « A est faux » au sens absolu, mais que « si A était vrai, cela produirait une contradiction ».

Même si 𝐴 ∧ ¬𝐴 survient, ⊥ n’explose pas le système.

La négation est définie via l’implication, ce qui rend le langage minimaliste et homogène :
A → B : “il existe une méthode pour transformer toute preuve de A en preuve de B”
- On ne se contente pas de dire “si A est vrai, alors B est vrai” (comme en logique classique).
- Il faut construire explicitement la preuve de B à partir de celle de A.
- Cela transforme l’implication en relation entre preuves, pas entre valeurs de vérité.


En logique minimale, on raisonne souvent avec des séquents :

Γ, ⊢, 𝐶

- Γ : hypothèses disponibles
- 𝐶 : conclusion que l’on veut prouver
- ⊢ : il existe une preuve construite à partir des hypothèses.

Pour l’implication :
𝐴 → 𝐵, on utilise la règle d’introduction de l’implication :

Γ, 𝐴 ⊢ 𝐵
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Γ ⊢ 𝐴 → 𝐵


Interprétation :

Si, en supposant 𝐴, on peut construire une preuve de 𝐵, alors on peut construire une preuve de 𝐴 → 𝐵 sans supposer 𝐴.
C’est exactement la traduction formelle de : “il faut construire explicitement B à partir de A”.


La logique minimale est la seule authentiquement constructiviste et la seule qui ne repose sur aucun postulat ontologique. C’est à la fois le cadre logique le plus prudent et le plus ouvert, tout en étant le moins arbitraire.

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1. Principe central :

En logique minimale, une proposition n’est “vraie” que si elle est prouvée, c’est-à-dire si une preuve construite existe.
Il n’y a aucune vérité ontologique ou indépendante du système de preuves.
Ainsi, la notion classique de vérité (vrai/faux bivalent) n’a pas de sens ici.


2. Conséquences :

On ne peut pas dire “Dieu existe” est vrai ou faux.
On peut seulement dire :
- Prouvable → il existe une preuve construite
- Non prouvable → aucune preuve construite, donc illogique ou indéterminé
Les contradictions n’existent que si elles sont construites.


3. Reformulation intuitive :

En logique minimale, la vérité implique une existence de preuve.
Tout ce qui n’est pas construit n’est ni vrai ni faux, juste non prouvé.

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Pour illustrer ce qui est original en logique minimale :

L’affirmation “Dieu existe et Dieu n’existe pas”, sans construction, n’est pas une contradiction en logique minimale.
C’est juste une conjonction d’affirmations, qui n’implique rien, n’a aucune conséquence, et ne produit pas ⊥.
Autrement dit, elle est illogique (dans le sens de non-prouvable, non constructible), mais pas contradictoire dans le cadre minimaliste.


C’est exactement ce qui distingue la logique minimale :

La contradiction n’existe que si elle est construite, elle n’est jamais présupposée, contrairement à la logique classique ou intuitionniste.

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Conclusion :


En termes de logique minimal — on ne peut pas faire plus minimale en logique — Une affirmation gratuite, sans preuve construite, est illogique.


-----> Une affirmation gratuite, sans preuve construite, est illogique.

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