J'm'interroge a écrit : ↑06 août19, 09:32 En effet, l'axiome 2 considère uniquement des ensembles compatibles, ceux-là seuls qui le satisfont sans que l'on comprenne bien sur quel principe un ensemble ne pourrait pas contenir un élément non compatible avec un autre dans un autre ensemble, puisqu'il n'en est pas question avant.
Bien justement, c'est le souci.
Avant l' "axiome" 2 (je mets entre guillemets), il y a l'axiome 1 qui ne dit pas non plus explicitement de quoi l'on parle, puisqu'il s'agit de ce que l'on aborde implicitement comme ce que requiert une relation d'appartenance, autrement dit : comme ce qui peut "appartenir à" (a) ou comme ce qui peut être ce "à quoi un (a) appartient" (b).
En effet, il n'y a jusque là aucune définition en compréhension de ce qu'est formellement un ensemble.
Dans ce cas : un ensemble doit être vu comme un objet très général et flou car indéfini, objet que requiert une relation d'appartenance.
Or, que dit l'axiome 2 : il dit sans qu'on sache pourquoi ni comment : "Si x et y sont des ensembles, alors il est possible de construire un ensemble z tel que l'ensemble x appartient à l'ensemble z et l'ensemble y appartient à l'ensemble z" ce qui revient à : "Si il n'est pas possible de construire un ensemble z tel que l'ensemble x appartient à l'ensemble z et l'ensemble y appartient à l'ensemble z, alors x et y ne sont pas des ensembles".
Ce que je dis c'est donc qu'il ne s'agit pas d'un axiome (je parle bien entendu du dit "axiome 2"), mais plutôt d'une définition arbitraire, qu'il aurait été plus judicieux de le placer en position 1, voire en position 0.
C'est une définition et donc pas un axiome, car ce qui s'aborde implicitement à travers l'axiome 1 comme ce que requiert une relation d'appartenance, permet de présenter des cas incompatibles avec ce qu'énonce l'axiome 2.
En effet :
Je disais dans l'autre post que dans une théorie logique un axiome doit remplir trois critères :
1) énoncer une évidence,
2) sa négation ne doit pas constituer un cas non contradictoire,
3) il permet de trancher une indécidabilité.
Or, examinons si l'axiome 2 remplit le critère 2), autrement dit : examinons si sa négation ne constitue pas un cas non contradictoire.
Négation de l'axiome 2 :
"x et y sont des ensembles ET il n'est pas possible de construire un ensemble z tel que l'ensemble x appartient à l'ensemble z et l'ensemble y appartient à l'ensemble z"
Question :
En raison de quoi cette proposition serait un cas contradictoire ? Tu y vois une contradiction avec l'axiome 1 ?
Pas moi, j'ai d'ailleurs construit un cas compatible avec l'axiome 1 qui illustre ce cas. Relis ma première intervention dans ce fil, tu l'y trouveras.
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